原帖作者@Cloudk
原帖问题在这：
http://tieba.baidu.com/p/2474609961
关注的人不少，于是给一个我的答案参考~~这个答案主要是借助于分析Laudau Fall的问题的方式，来分析高维原子Hamiltonian的办法~~Laudau Fall这个经典的问题，一般很多量子力学的书上会介绍，还有就是Laudau的书也会见到。
现在来分析时空维度为D=N+1维的情况，N是空间维度。在N维上如果存在原子，那么显然核外电子必须也满足量子力学的基本方程，即Schrodinger方程：
为了进一步分析问题，还要进一步写清楚算符H的具体形式。我们知道Hamiltonian=动能(T)+势能(V)；在量子力学中它们也是算符，于是：
下面面临两个问题，即如何写出上式中倒三角算符的平方在N维下的具体表达式，以及V(r)在N维度中的具体表达式。不难想象，N维空间里面用球坐标描述一个点的话，那么需要一个坐标r描述它与原点的距离以及N-1个角度坐标来确定它的方位，于是N维空间中的一个球面的面积必然正比于r^(N-1)。这个结果你可以通过写出N维空间的球方程，然后用微积分算表面积，或者直接分析量纲也行。于是可以写出倒三角算符的平方在N维空间中球坐标下的表达式：
这个具体的算法可以利用微分几何外微分的定义一步一步算，也可以直接差书或者Wiki找到结果。上式的L^2是角动量平方算符，它与球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算符只差一个负号，这个算符只与所有的角度坐标有关，因此不难理解它为什么对应的力学量就是角动量。到此多说一句，由此可见，第一项对r的求导代表粒子可以沿着径向有动能，即可以沿着径向运动，而第二项则是一个等效的离心势能，这意味着粒子可以一直离心运动或者转动，这样它就可以跑到无穷远。如果是自由粒子的情况，这意味着Hamiltonian中的V(r)=0，于是粒子可以自由的离心运动，跑到无穷远，这正是自由粒子“自由”的一个原因。
回到正题，下面需要写出V(r)的具体形式。我们知道原子中原子核与电子的相互作用是电磁相互作用，于是可以写下N维空间的库伦势，为：
这个怎么得到的，直接把Maxwell方程放到N维空间就可以立即算出来这个结果，其中e是代表元电荷，k_N代表N维空间中的比例系数，负号是由于原子核和电子带有异种电荷，因此势能是个吸引的势。于是整个Hamiltonian就可以写出来：
这里我们重点分析红色和蓝色的两项，因为第一项代表的是径向的动能，它对于图像分析并没有影响；还有就是L^2这一项，如果存在N维的原子，那么这个Hamiltonian必须给出束缚态的能量本征态，显然又有[L^2,H]=0,那么能量本征态可是L^2的本征态，于是这里就可以用L^2的本征值代替L^2，而它的本征值我们知道是l(l+1),因此这里的L^2可以视作是数而不是算符。下面来分析红蓝两项给出的物理图像是什么。
（1）对于最熟悉的情况，N=3，三维空间的情况，蓝项就是常见的库伦势情况，此时在r趋于0的时候取极限不难算出，最后红蓝两项的结果趋于红项目；而在r趋于无穷远的时候，红蓝两项的结果趋于蓝项。前面说了，这两项中红项给出的是一个等效的离心势，而蓝项则是一个等效向心势，所以分析的结果就是N=3的时候电子在趋于原子核附近(r趋于零)会受到一个总体想离心势（排斥效应），而远离原子核的时候(r趋于无穷远）则受到一个向心势（吸引效应），因此r在0到无穷远之间可以存在一些平衡的位置，使得体系能够稳定存在，也就是所谓的束缚态解可以存在。“束缚”正是此意，一来电子不能坠入原子核，二来也不能跑到无穷远。此时就能够形成稳定的原子体系。这正是Landau当初从物理图像上分析出的库伦势为何存在束缚态解的想法。
（2）对于N=4的情况，同样按照上面的方式分析，但由于现在红蓝两项渐进行为都一致，所以这种情况下要考虑两项的系数关系，不过不难计算这两项的系数关系也不能给出正确的束缚态图像。
（3）对于N>4的情况，按照(1)的分析方式可见，当r趋于0的时候，结果趋于蓝项；r趋于无穷的时候结果趋于红项；这说明此时电子趋于原子核附近的时候会受到一个等效的吸引力，而远离原子核的时候则受到等效的排斥力，因此这个图像与（1）给出的图像正好相反，所以此时的Hamiltonian给不出束缚态的解，也就没有稳定的原子存在。这种情况下，电子在原子核附近会出现所谓的Landau Fall，也是Landau以前讨论过的问题之一。
至此这个问题也就分析完了，可见物理的问题，往往图像才是最有趣的部分。可以看出对于很多问题，物理图像往往给出了更重要的意义。比如这个问题，如果从物理图像上判断就不存在束缚态，那么方程是不必要解的，因为正确的方程必然和物理图像相一致。可见真正分析物理的时候，并不总需要很多数学。这种问题属于检验量子力学是否被你真正理解，量子理论的概念和图像你是否可以真正利用的问题，所以在学习物理不论任何内容的时候，还是应该做到要基于严格的数学推理但又不要过于依赖数学的程度，这对于一些真正物理内容的理解和发现都有很重要的益处。
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关注的人不少，于是给一个我的答案参考~~这个答案主要是借助于分析Laudau Fall的问题的方式，来分析高维原子Hamiltonian的办法~~Laudau Fall这个经典的问题，一般很多量子力学的书上会介绍，还有就是Laudau的书也会见到。
现在来分析时空维度为D=N+1维的情况，N是空间维度。在N维上如果存在原子，那么显然核外电子必须也满足量子力学的基本方程，即Schrodinger方程：
为了进一步分析问题，还要进一步写清楚算符H的具体形式。我们知道Hamiltonian=动能(T)+势能(V)；在量子力学中它们也是算符，于是：
下面面临两个问题，即如何写出上式中倒三角算符的平方在N维下的具体表达式，以及V(r)在N维度中的具体表达式。不难想象，N维空间里面用球坐标描述一个点的话，那么需要一个坐标r描述它与原点的距离以及N-1个角度坐标来确定它的方位，于是N维空间中的一个球面的面积必然正比于r^(N-1)。这个结果你可以通过写出N维空间的球方程，然后用微积分算表面积，或者直接分析量纲也行。于是可以写出倒三角算符的平方在N维空间中球坐标下的表达式：
这个具体的算法可以利用微分几何外微分的定义一步一步算，也可以直接差书或者Wiki找到结果。上式的L^2是角动量平方算符，它与球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算符只差一个负号，这个算符只与所有的角度坐标有关，因此不难理解它为什么对应的力学量就是角动量。到此多说一句，由此可见，第一项对r的求导代表粒子可以沿着径向有动能，即可以沿着径向运动，而第二项则是一个等效的离心势能，这意味着粒子可以一直离心运动或者转动，这样它就可以跑到无穷远。如果是自由粒子的情况，这意味着Hamiltonian中的V(r)=0，于是粒子可以自由的离心运动，跑到无穷远，这正是自由粒子“自由”的一个原因。
回到正题，下面需要写出V(r)的具体形式。我们知道原子中原子核与电子的相互作用是电磁相互作用，于是可以写下N维空间的库伦势，为：
这个怎么得到的，直接把Maxwell方程放到N维空间就可以立即算出来这个结果，其中e是代表元电荷，k_N代表N维空间中的比例系数，负号是由于原子核和电子带有异种电荷，因此势能是个吸引的势。于是整个Hamiltonian就可以写出来：
这里我们重点分析红色和蓝色的两项，因为第一项代表的是径向的动能，它对于图像分析并没有影响；还有就是L^2这一项，如果存在N维的原子，那么这个Hamiltonian必须给出束缚态的能量本征态，显然又有[L^2,H]=0,那么能量本征态可是L^2的本征态，于是这里就可以用L^2的本征值代替L^2，而它的本征值我们知道是l(l+1),因此这里的L^2可以视作是数而不是算符。下面来分析红蓝两项给出的物理图像是什么。
（1）对于最熟悉的情况，N=3，三维空间的情况，蓝项就是常见的库伦势情况，此时在r趋于0的时候取极限不难算出，最后红蓝两项的结果趋于红项目；而在r趋于无穷远的时候，红蓝两项的结果趋于蓝项。前面说了，这两项中红项给出的是一个等效的离心势，而蓝项则是一个等效向心势，所以分析的结果就是N=3的时候电子在趋于原子核附近(r趋于零)会受到一个总体想离心势（排斥效应），而远离原子核的时候(r趋于无穷远）则受到一个向心势（吸引效应），因此r在0到无穷远之间可以存在一些平衡的位置，使得体系能够稳定存在，也就是所谓的束缚态解可以存在。“束缚”正是此意，一来电子不能坠入原子核，二来也不能跑到无穷远。此时就能够形成稳定的原子体系。这正是Landau当初从物理图像上分析出的库伦势为何存在束缚态解的想法。
（2）对于N=4的情况，同样按照上面的方式分析，但由于现在红蓝两项渐进行为都一致，所以这种情况下要考虑两项的系数关系，不过不难计算这两项的系数关系也不能给出正确的束缚态图像。
（3）对于N>4的情况，按照(1)的分析方式可见，当r趋于0的时候，结果趋于蓝项；r趋于无穷的时候结果趋于红项；这说明此时电子趋于原子核附近的时候会受到一个等效的吸引力，而远离原子核的时候则受到等效的排斥力，因此这个图像与（1）给出的图像正好相反，所以此时的Hamiltonian给不出束缚态的解，也就没有稳定的原子存在。这种情况下，电子在原子核附近会出现所谓的Landau Fall，也是Landau以前讨论过的问题之一。
至此这个问题也就分析完了，可见物理的问题，往往图像才是最有趣的部分。可以看出对于很多问题，物理图像往往给出了更重要的意义。比如这个问题，如果从物理图像上判断就不存在束缚态，那么方程是不必要解的，因为正确的方程必然和物理图像相一致。可见真正分析物理的时候，并不总需要很多数学。这种问题属于检验量子力学是否被你真正理解，量子理论的概念和图像你是否可以真正利用的问题，所以在学习物理不论任何内容的时候，还是应该做到要基于严格的数学推理但又不要过于依赖数学的程度，这对于一些真正物理内容的理解和发现都有很重要的益处。
牛掰
