新知杯习题答案及讨论帖

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24.反证法,那么P(0)=sin0=0
对任一整数k, P(kπ)=sinkπ=0
所以对任一整数k, kπ是P(x)的根，则P(x)有无穷个根，得到P(x)=0.矛盾！

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谢

4.过四个点作连心线的垂线，用圆幂定理算出四个垂足的位置相同

22.设四个根为a,b,c,d,首项系数为α
由于f(0),f(1)均为正整数，故1<=f(0)f(1)=α^2*a(1-a)b(1-b)c(1-c)d(1-d)<=α^2*(1/4)^4（等号成立得到a=b=c=d=1/2,与f(x)无重根矛盾。
故α^2>4^4，得|α|>16.由α是整数，即得结论

16.不能。 将2015换成任意正整数n都不行。
首先一个抛物线可以被一个(90/n)°的角覆盖。我们证明，这n个角（含内部）都无法覆盖整个平面！
考虑这n个顶点，存在一个大圆C将他们覆盖。考虑每个角截C的弧长，每段弧的圆周角<=园内角=(90/n)°
故所有弧长的和<=90°<180°，故存在C上的点 不在所有角内部。得证！