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偶然发现了2018年收藏的逆神的空间一条说说
当时才大一，完全不会所以收藏了起来
现在看见还是有不确定的东西
空间一些原文如下
"
Lax-Milgram定理: X是Hilbert空间。如果B(x,y)是有界共轭双线性函数，满足下界估计|B(x,x)|≥c||x||²，那么任意的f∈X*，存在y∈X使得f(x)＝B(x,y)，并且||y||≤||f||/c。如果记Ly(x)＝B(x,y)，那么显然有Ly∈X*，也即L∈B(X,X*)是共轭线性的。根据|Lx(x)|≥c||x||²，可得L是单的，并且L的值域是闭的。这样Lax-Milgram定理是说L还是满的，也即L是X到X*的有界可逆共轭线性算子。因为定理的条件与结论的表述中都和X是Hilbert空间这个条件无关，所以如果将X改成Banach空间会怎么样？
"
今天看到这个问题感觉还是不能给准确回答。但是Lax-Milgram定理在证明的过程中，需要用到Riesz表示定理，无论如何原始版本定理要求这个完备空间必须定义内积，根本没有讨论没有内积结构的情况.
然而考虑Riesz表示定理的证明过程，对于空间X的闭子空间N，如N=Ker f, f∈X*, 那么空间 X=N\oplus P,P 是 N 正交补空间.
这就联想到之前我看到过一篇文章，Lindenstrauss 还有另一位作者在这里给出了一个定理，根据那篇文章，假设Banach空间的所有闭子空间都存在补空间，便可以推出这个空间一定同构于某个Hilbert空间.
同时，设X是一个Banach空间，对于X的每个闭子空间Y和每个紧算子U: Y→Y，存在一个有界线性延拓 \hat{U}: X→Y. 那么X同构于一个Hilbert空间。
问题"如果将X改成Banach空间会怎么样？"或者可以从考虑这种情况开始。
此外，文章对于 complemented subspace 证明了唯一的可分无限维 Fréchet 空间，其中每个闭子空间都存在补空间，只有这三种！是：s、\(s\oplus l_2\) 和 \(l_2\)，其中 s 是所有实数序列的空间。
当时才大一，完全不会所以收藏了起来
现在看见还是有不确定的东西
空间一些原文如下
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Lax-Milgram定理: X是Hilbert空间。如果B(x,y)是有界共轭双线性函数，满足下界估计|B(x,x)|≥c||x||²，那么任意的f∈X*，存在y∈X使得f(x)＝B(x,y)，并且||y||≤||f||/c。如果记Ly(x)＝B(x,y)，那么显然有Ly∈X*，也即L∈B(X,X*)是共轭线性的。根据|Lx(x)|≥c||x||²，可得L是单的，并且L的值域是闭的。这样Lax-Milgram定理是说L还是满的，也即L是X到X*的有界可逆共轭线性算子。因为定理的条件与结论的表述中都和X是Hilbert空间这个条件无关，所以如果将X改成Banach空间会怎么样？
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今天看到这个问题感觉还是不能给准确回答。但是Lax-Milgram定理在证明的过程中，需要用到Riesz表示定理，无论如何原始版本定理要求这个完备空间必须定义内积，根本没有讨论没有内积结构的情况.
然而考虑Riesz表示定理的证明过程，对于空间X的闭子空间N，如N=Ker f, f∈X*, 那么空间 X=N\oplus P,P 是 N 正交补空间.
这就联想到之前我看到过一篇文章，Lindenstrauss 还有另一位作者在这里给出了一个定理，根据那篇文章，假设Banach空间的所有闭子空间都存在补空间，便可以推出这个空间一定同构于某个Hilbert空间.
同时，设X是一个Banach空间，对于X的每个闭子空间Y和每个紧算子U: Y→Y，存在一个有界线性延拓 \hat{U}: X→Y. 那么X同构于一个Hilbert空间。
问题"如果将X改成Banach空间会怎么样？"或者可以从考虑这种情况开始。
此外，文章对于 complemented subspace 证明了唯一的可分无限维 Fréchet 空间，其中每个闭子空间都存在补空间，只有这三种！是：s、\(s\oplus l_2\) 和 \(l_2\)，其中 s 是所有实数序列的空间。
原本这个星期研讨会我讲，但是他们同学有一些需要进行模拟答辩，所以就只能下个星期再说了
