按：本文是 NH Flecture教授晚年（时年74岁）所撰写的论文。该文选择了音乐声学史上一直以来的空白点，即闭管的边棱音乐器——排箫进行研究，虽然并不特别深入细致，但因其开创性而显得甚为稀有。

原名：闭管的管乐器：排箫的声学
摘要：
由喷气柱激发的闭管乐器在很多文化中存在着，这些乐器中如今最为人知的，是东欧和秘鲁安第斯山地区的排箫，或潘神箫。此类乐器演奏风格各不相同，但都是在一组长度渐变竹管的开放端吹气进行激励的。其激励细节的空气动力学需要实验验证，尤其是在较高音区，包含着与闭管本有之奇数谐波振幅相近的偶数谐波。分析显示，由流体动力学法则所控制的喷气柱偏移，是偶数谐波激励可感知的根源。为一位演奏者进行的实测，在很大程度上确认了该理论。

1、简介
演奏者嘴唇吹出的喷气柱，掠过简单组合的闭管顶端以发出声音，这样的乐器有极其悠久的历史。在Marcuse1所做的一份优异总结中，列举了乌克兰境内发现的，公元前2300到2000年间所造七八件鸟类骨器的例子。由多种多样材料制成的类似出土器，在经典希腊文化，以及非洲，亚洲和美洲均有发现，“排箫”和“潘神箫”的名称即源于这些文化1。今天最常见的，是来自东欧和南美秘鲁安第斯山地区，由竹子制成的此类排管状乐器。图1展示了一件优质的来自东欧的该类别典型乐器。两个地区的演奏风格大相径庭，欧洲最知名的演奏录音是由 Gheorghe Zamfir 所作的类古典作品，而安第斯山音乐家则采取一种打击乐式的流行与乡村音乐演奏风格。对此两种演奏风格，本文都将进行声学调查。

图1、来自东欧的一把排箫。注意直径的变化
插入视频1
2、物理参数
如图1所示，被试排箫是用竹子细心制造而成的，每根竹管底部沿竹节切断。竹管被镶嵌在木制托架中，并相互粘接成轻微的弧形。每根竹管的顶部内缘（根宁注：似应为‘顶部外缘’）有稍稍加工的斜度，为演奏者嘴唇提供光滑的接触面，大一些的管子在内部也有轻微加工的斜面。
该乐器能基于F#4（394赫兹）演奏全音阶。除了最短的管子外，音准听起来是好的（一定程度依赖于演奏者），最短的管子发出的是C7，而非预想中的B♮ 6。不知道是不是有意为之。
随着音高的升高，管子的直径稳步缩小，但截面积的微小不规则给测量带来了一些困难。图2展示了一组管子直径 d 与管长 L 的函数关系，单位都是毫米。其指数回归表达如下

该尺寸缩放有两个目的。首先，这可使演奏者唇部到管子外缘的距离缩短，有利于演奏高音，这在后面会讨论到。第二，相关联地，这让乐器整个音域的响度趋于一致。
将管风琴笛管通常所做的缩放作与此进行比较，是饶有趣味的2。这样的经验规律，常被描述为相差一定音程时管径将加倍，或相差一个八度时的管径比值，后者代表性的范围是1.6 到 1.7 倍。如式（1）给出的那样，近似的法则是 d∝L0.75 （根宁注：即d与L的0.75次方成正比）。而排箫比典型管风琴管子的直径减少来得更慢。这是因为排箫的音域只有2.5个八度，对比之下管风琴则有5个八度，在排箫的管子序列中不存在巨大的音色平衡效应，无论如何事实上都影响甚微，因为排箫只是一件简单的旋律乐器。
秘鲁安第斯山排箫的一个测例，显示出与欧洲同类乐器非常相似的管径缩放特征，但其管径远为更不规则，也许是该测例低得多的价钱所致。作为对比，泰国竹排箫（Thai vot）是将管子环形安置在一个实芯的周围（根宁注：见根宁补图1），且所有管子的直径几乎相同。Vot各管顶端同样有斜切，没学过的人要吹出声则困难了很多。

图2、东欧排箫的管子缩放。回归线即d=1.32L0.43，d 和L 的单位都是毫米

（根宁补图1：来自泰国的Wot Vot（竹排箫））

声学理论
有关喷气柱激励的共鸣体，存在着大量的声学文献，3但其中绝大多数谈的是开放的管子，如管风琴的音栓列，人所共知的横吹长笛，或者竖笛。本研究很大程度上与闭合的管子相关，这与前者有着令人瞩目的差异。我所知道的唯一关于排箫声学的论文，是Czyzewski 和 Kostek4最近关于排箫声音波导模型的贡献。在下文中，将基于 Coltman，5Elder，6 和Fletcher7提出的喷气柱驱动机制，给出可能的最简单理论。由Howe8,9 最先提出，并经Hirschberg 与其合作者详尽研究的理论 10,11表明，涡流在排箫声学过程中可能扮演着重要的角色，但这个理论要比简单喷气柱理论复杂得多，不过，通过管内靠近管口混合区域——其中动量通量守恒以及能量被耗散——的概念，该理论被有效隐藏在简单喷气柱理论的背后了。

图3（a）喷气柱掠过管口发展的过程，标出符号以备讨论。在A区域与B区域之间，喷气柱轮廓从“高帽（top-hat）”形变成了比克利（Bickley）形，而后又被粘性卷吸（viscous entrainment）线性地加宽到C点。（b）喷气柱速度剖面的发展，假定一个起始的“高帽”形。两图中的标签A，B，和C相互对应。

当然，在管外靠近管口的附近，也存在卷吸和涡流形成过程导致的，相当程度的能量耗散。在 Howe–Hirschberg 模型中，尽管这些具备周期性的涡流对发声有贡献，其贡献是小量的，与边棱音中的情形相似，故而在混合区域模型中被忽略。
闭管与开管喷气柱激励一个非常重要的区别，与进入管中气流的稳定部分相关。在开管的情况下，这无足轻重，因为管子下游的声阻抗在零频率时本来就是零，故所有的流都能逃逸。而在闭管的情况下，零频率的声阻抗是无穷大，故任何稳定流将被完全阻塞。如此一来，闭管喷入气流的方向会受到喷出气流中稳定平衡部分的影响，甚至几乎完全为其所控。作为结果，喷气柱平均中线的方向是由空气动力学来考量，而非演奏者的唇部形态所决定的，于是，与尾吹的开管乐器，例如日本尺八的发声难度相较起来，其发声相当地稳定与简单。理论性开掘的第一部分将致力于探索此事。

空气动力
可从两个维度考虑喷气柱的行为，从而导出一个合理的近似。喷气柱的行为及用到的符号如图3所示。当喷气柱从演奏者唇部出现时，由唇内通道的有效长度决定，其速度剖面大致处于“高帽”形和抛物线形之间。不论是哪种形状，跟长笛一样，中央空气速度 V0只取决于口内吹气压力，这依赖于所演奏的音符，典型的速度大约是20–40 米/秒12。在离开嘴唇一个短距离 d之后，流轮廓因周围空气的粘性阻力而改变，迅速呈现为比克利形13

这里的 z是喷气柱的横向坐标，b1是喷气柱的半宽度参数。在这个很快的转换过程中，把喷气柱中线面速度 V0看作不变是合理的，由于粘性效应必定会从喷气柱边缘扩散进去，这个假设会让接下来的计算得到简化。
如图3所示，设 2b0 是演奏者的风门宽度，且 b1 是轮廓调整后的喷气柱半宽度参数，则守恒的动量通量

应在这个轮廓转换过程中保持不变，那么，如果初始轮廓是高帽形，则要求 b1 /b0=3/2 ，如果是抛物线形，则要求 b1 /b0=4/5 。贯穿整个流轮廓的积分，决定了每种情形下喷气柱中的容积流量 U，如果初始流轮廓是高帽形，则 U=1.5U0 ，如果是抛物线形，则 U=1.2U0 ，其中 U0是来自演奏者嘴唇的初始容积流量。由于额外的卷吸流在喷气柱的上下方各占一半，喷气柱轮廓调节过程从管内卷吸的容积流量是 βU0，其中 0.1＜β＜0.25 。
在喷气柱掠过管子顶部时，会因粘性阻力进一步加宽，如图3所示，并卷吸更多的空气。比克利的分析13给出了这种加宽的表达式，对管风琴喷气柱处于类似排箫吹奏压力的测量表明，虽然比克利轮廓（2）在典型情况下保持了约15毫米距离，维持了一个很好的近似，但喷气柱实际上比预计的更慢和更宽，加宽程度大致与距离呈线性关系，其扩张半角度 ε约为6°14。

随着喷气柱掠过管子顶部，并在剩下的距离l－δ中传播时，将发生进一步的空气卷吸，整个路径的长度为 l。如果半宽度参数 b的值以因子α改变的话，那么为了保持式（3）所给定的动量通量积分 J不变，喷气柱的中央速度必须以因子α-1/2进行改变。将此二变量考虑进去，喷气柱的总体积通量将以因子 α1/2进行改变。在本例中，喷气柱长度是典型的约5-10毫米，而最初的喷气柱半宽度约为0.5-1毫米，由于加宽让喷气柱最终的半宽度约成为1.5-2毫米，故α≈2。在喷气柱掠过管子顶部后，其容积流量增长为最初大小的1.4倍，而这增长中的一半，或者说初始流0.2倍的流量，是从管子内部卷吸而出的。还必须加上之前讨论过的，初始流的0.1–0.25 倍，得出从管子内部卷吸的总流量大概是 0.4U0 。为使该分析更具体些，设喷气柱轮廓改变处的半宽度为 b1 ，到达管口处的半宽度为 b，于是α=b/b1，则来自管内的净卷吸流量为

结果是大约 0.4U0 。追求这些数字的精度意义并不大，因为这是基于两个维度流量得出的近似结果，会随演奏者与所演奏音符的不同，随时发生相当程度的变化。
为使该卷吸流与喷气柱所注入的总流量进行平衡，喷气柱的中线面必须以 h0的长度偏斜出管口，于是

其中 V=α-1/2V0 ，是喷气柱在此位置的中线面速度，而 V0是其离开嘴唇时的速度。
由式（4），该要求简化为

将之前讨论过的α≈2 和 γ≈0.4 的典型数值代入，则必须的偏移量为 h0≈0.5b 。很清楚，这个量取决于演奏者和所演奏音符的细节，但也展示出，喷气柱被偏转而导致其中心面越过管口外部，越过的幅度占半宽度相当的比例——在靠近低音区，该数值的典型值约为0.5毫米。

声学激励
现在要重点评估一下喷气柱偏离对管子声学激励造成的影响。该问题已由Fletcher 和 Douglas15 基于普通管风琴喷气柱做出了详尽的研究，同样的考量适用于封闭的管子。实际的声学输出明显取决于两个因素，一是由喷气柱提供的激励；一是管内空气柱的共振增强，对闭管来说，强调的是奇数谐波。计算的概要如下。
正如已经提及的那样，由于喷气柱传播过程中正弦式的波动行为，加上演奏者对吹气压力和喷气柱长度的调节，喷气柱的偏转几乎与基音的声学流完全对应。然而，因为喷气柱偏转的幅度与其宽度相比并不算小，进入管子的喷气流包含着基音的谐波列，其振幅与喷气柱中心面的偏移量有关，当然，还与基音的振幅有关。被实验确认的理论指出，当喷气柱偏移为零时，将只产生奇数谐波，而当喷气柱偏移量大于 0.5b ，偏转幅度与 b 堪以相比时，喷气流和辐射声波中的偶数谐波振幅就变得相当大了。当偏转幅度为 2b 时，对注入气流谐波行为的计算如图4所示，且该计算已由一个开放管子的实验15所验证。

图4、由Fletcher 和 Douglas计算的（参考文献15），当比克利喷气柱轮廓偏移量为喷气柱宽度的 h0 /b倍时，喷气柱输入流基音的谐波列。为使观察更清晰，每条曲线相对前一谐波缩减了10 dB。该计算被一开放管子的实验所验证。

实验研究
一个短小的实验研究证明，偶数谐波在普通演奏和打击乐风格演奏的声谱中同样存在。很清楚，有经验的演奏者对喷气柱参数有大量的调节余地，但即使是天资缺缺的人也能吹出合意的声音，本实验的演奏者属于后一种情况。图5（a）展示了以普通风格演奏一个低音音符的声谱。其中奇数谐波占很大的优势，而偶数谐波水平在其相邻奇数谐波的 20-50 dB之下，这为所发声音赋予了“空洞”的音色特征。相似地，图6（a）展示了对一个中音音符的测量。其中的偶数谐波大为增强，但依然以10-20 dB的差距居于奇数谐波包络之下。这种趋同关系在高音区得到继续。

图5、欧洲排箫以普通风格演奏（a）和打击乐风格演奏（b）低音音符的辐射声谱。

图6、欧洲排箫以普通风格演奏（a）和打击乐风格演奏（b）中音音符的辐射声谱。

形成这种递进趋同关系的原因有两个。第一，喷气柱在高音区比低音区更短，这部分是因为管子的直径更小，部分是为了促进发声反馈循环的相位调整，而有意施行的演奏技术。第二，高音音符所使用的吹气压力更大。当喷气柱以同样方式撞击管子边棱时，这两种变化都会对其宽度造成影响，高音音符比低音音符的撞击喷气柱更窄。设喷气柱离开演奏者的嘴唇，在距离δ上变宽成为稳定轮廓，拥有半宽度 b1 ，则在走过总距离 l 后，到达管子对面的边棱，此时的半宽度为

其中ε≈0.1，与之前提到过的，根据实验约为 6° 的发散角相对应。因此 b/b1 的值对短的喷气柱来说会更小。对更快的喷气柱来说，由于具备更高的速度，其形成稳定轮廓并开始发散时，所走过的距离也更大，从而为发散过程留下更小的长度 l－δ。根据之前的分析，这意味着高音音符的偏离比例 h0 /b 比低音音符更大，从而导致较大的偶数谐波激励。另一方面，必须承认，演奏者通常会在演奏高音音符时缩短风门高度 2b0 3,12，这将产生相反的效果。故不同演奏者的高音音符会有不同的谐波平衡。
图5（b）和6（b）展示了用打击乐风格演奏同样两个音符的声谱。其中只有基音以乐音方式产生，而噪声频谱强调了基音的奇数谐波，这符合管子共振（此例中为声阻抗最小极值）的预期。这些共振模式的加宽，可归因于喷气柱涡流的耗散效应。图5（a）和6（a）展示的“普通演奏”实验声谱，与此有着同样的噪声背景，但数量级要低得多。可以合理地推测，高明的演奏者能进一步降低这种噪声，奏出极为纯净的乐音。