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一楼先放图防吞,稍后会简短解释一下原理和各个尺度的使用方法。
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1楼
2020-10-27 18:14
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模板:
https://sphere.bc.ca/test/build/yokota-loglog.pdf
A、B处断开,C、D处断开,然后保证刻度能同时对齐即可。
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2楼
2020-10-27 18:16
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下面简单讲一下各尺度的原理和使用方法。
尺度内容参考:
https://www.sliderule.ca/scales.htm
使用方法参考:
https://www.sliderulemuseum.com/SR_Class/OS-ISRM_SlideRuleSeminar.pdf
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3楼
2020-10-27 18:19
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众所周知,要用正常的刻度尺做加减法,是一件很简单的事情。比如要计算2+3,我们只需要把一条长为2的线段和长为3的线段连起来,即可量出结果为5。
然而,用刻度尺计算2×3,就不是特别容易了,我们不能直接通过相接来实现计算,因此要想办法把乘法变为加法。
这时,考虑到高中学过的对数的性质,我们发现,log(2×3)=log2+log3,也就是说,我们可以把一条长为log2的线段和长为log3的线段连起来,量出长度为log6,即可得该结果为6。
计算尺上的C尺和D尺就是用来做这个的。
例:计算2×3。
使用方法:将C尺的“1”对准D尺上的“2”,然后找到C尺上的“3”,其对准D尺上的“6”,即可得结果为6。
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4楼
2020-10-27 18:26
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注意:因为计算尺是基于人肉眼读数的,其有效位数有限(通常为2-4位),只适合用于估算。
例:计算2.3×3.4。
使用方法:将C尺的“1”对准D尺上2.3的位置,然后找到C尺上3.4的位置,其对着D尺上的7.8过一点,此时估读7.81、7.82、7.83均可,存在一定的误差。
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5楼
2020-10-27 18:33
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注:以上所说的“1”均指最左侧的“1”,该模板右侧的“1”实际指的是10,下文将用“10”来表示。
然而,计算的时候,可能会超出量程,比如计算2.3×4.5时,按照上述操作,会发现C尺上4.5并不能直接指上D尺上的数。这时,我们就要把结果除以10来进行读数。
怎么把结果除以10呢?很简单,我们之前用C尺的“1”(最左侧)来对着D尺上的2.3,要缩小10倍,只需要C尺往左移log10的长度,即,让C尺的“10”(最右侧)对着D尺的2.3,然后再看C尺上的4.5,其对着1.035(估读)。
之前我们把结果缩小了1/10,所以现在我们把读数放大10倍,10.35,即为计算出的结果。
实际上,如果有CF、DF标记的话,是可以不用将C尺移动到“10”直接读数的,但所给的模板里没有,就不展开了,有兴趣可以看使用方法的pdf。
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6楼
2020-10-27 18:44
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学会乘法后,除法就很简单了,只需要把乘法的过程倒过来即可。
例:计算4.5÷7.8。
计算方法:将D尺的4.5和C尺的7.8对准。C尺左端的“1”对应即为结果。对于题中所给的情况,取右侧“10”对准的结果(估读5.76),将其除以10,即为计算结果0.576。
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7楼
2020-10-27 18:48
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CI尺:上面的刻度为将C上的刻度逆转。由于log10-loga=log(10/a),所以CI尺上的读数为C上的倒数的10倍。
例如,要计算7.8的倒数,可将游标(一根竖线)移动到C尺的7.8上,此时CI上游标的读数为1.282,将结果除以10,即为结果0.1282。
注意事项:CI尺上的刻度为从右到左,读数时需要注意。
由于除以一个数等于乘一个数的倒数,因此可以用CI代替C进行除法。
例:使用CI计算4.5÷7.8。
计算方法:将C的“1”(左侧)对着D上的4.5,此时CI的“10”(左侧)也对着该位置。将游表移动到CI的7.8上,此时D尺上的游标读数为5.76,即计算结果0.576。
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9楼
2020-10-27 19:13
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CI尺补充说明:移动小数点时,原来乘10的,倒数需要除以10,反之亦然。
A、B尺:上面的内容为C、D尺的平方。
由于对数性质log(a²)=2loga,所以看起来就像是把C尺和D尺压缩了一半。
你可以当成C尺和D尺那样直接使用,注意:右侧读数需要乘以10。也可以配合游标直接计算某个数的平方(同CI计算倒数的使用方法)。
例:使用A、B尺计算12×3.4。
计算方法:B尺的左侧1对准A尺的12,B尺的3.4读数78.2,为计算结果。
例:123²。
计算方法:123=1.23×10²,将游标移动到C尺的1.23处,读出B尺上的1.513,即计算结果为1.513×10⁴。
K尺的内容为C、D尺的立方,使用方法同理。
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10楼
2020-10-27 19:30
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S尺:上面的刻度为C上刻度1/10的反正弦值(以角度表示),模板上的小字为反余弦值(以角度表示)。
ST尺:上面的刻度为C上刻度1/100的反正弦值或反正切值(以角度表示),模板上的小字为反余弦值或反余切值(以角度表示)。
T1尺:上面的刻度为C上刻度1/10的反正切值(以角度表示),模板上的小字为反余切值(以角度表示)。
T2尺:上面的刻度为C上刻度的反正切值(以角度表示),模板上的小字为反余切值(以角度表示)。
P尺:上面的刻度为√(1-(C/10)²)。可用于sinx和cosx的转换。
显然,这些尺的刻度可以帮助我们更好计算三角函数。
要注意范围:计算正弦时,S尺适合5.7°~90°,ST尺适合0.6°~5.7°。由于sin x=cos(90°-x),余弦范围为90°减以上值。
对于正切,ST尺适合0.6°~5.7°,T1尺适合5.7°~45°,T2尺适合45°~84°,余切范围为90°减以上值。此外,由于tan(90°-x)=1/tanx,使用T1和CI也能实现T2的效果。
使用方法还是用游标(类似查表),此外别忘了小数点的位置。
活用三角函数诱导公式,即可计算大多数角的结果。
例:计算cos80°。
计算方法:cos80°=sin10°。将游标对着S尺的10位置,读出C尺上为1.744,即结果为0.1744。
例:计算tan5°。
计算方法:将游标对着ST尺的5,读出C尺上为8.74,即结果为0.0874。
例:已知tanx=1.5,求x。
计算方法:将游标对着C尺的1.5,由于为1倍,所以读T2尺上的内容,为56.3°。
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11楼
2020-10-27 19:51
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P尺的作用就是利用sin²x+cos²x=1,来求出另一个结果。
例如:已知sinx=0.15,求x、cosx。
计算方法:将游标同时对着C尺和D尺上的1.5,由于为10倍,所以读S上的内容,x为8.63°。此时,P上的读数为0.988,即为cosx的结果。
注意:P的阅读从右到左。
(注:以上在答案锐角范围内考虑,如需扩展请用诱导公式)
另外,计算小于0.6°的角的正弦、正切时,由于sinx~tanx~x,可考虑用弧度来近似,计算方法为:角度值/57.3≈弧度值。(57.3的精确值为180/π)
例如:计算sin 0.5°,只需要转换为0.5/57.3即可。得0.00873。
对于大于84°的正切值,可转换为6°以内的正切值的倒数来处理。
例如:计算tan 88°,可转换为求1/tan 2°,将游标对着ST上的2,读CI的结果为2.86,因此结果应该为28.6(C尺的读数倍数为1/100,CI尺的读数倍数为(10/100)⁻¹=10)。
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12楼
2020-10-27 20:07
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L:刻度内容为C刻度的常用对数。(以10为底)
使用方法也很简单,同样是用游标。
例:计算lg2。
计算方法:游标对C上的2,在L上读数0.301。
你可能会发现,L其实是等刻度的,因为C、D本身就是基于对数设计的。
可以利用对数的换底公式计算其余的对数,例如计算ln2=lg2/lge。e可用2.72代替。
计算小于1或大于10的常用对数时,可以用对数的性质lg(a×10ⁿ)=lg(a)+lg(10ⁿ)=lg(a)+n。
例如,计算lg123,可以转变为lg(1.23)+2。同时,也能反过来求10的任意次幂。
例:计算10²·¹。
计算方法:10²·¹=100×10⁰·¹。将游标移至L的0.1处,读得C为1.26,所以计算结果为126。
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13楼
2020-10-27 20:20
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至此,该计算尺模板上的内容我们已经介绍了不少,只剩下8个LL开头的没有介绍了,从名字可以看出,他们是相似的。
在介绍之前,我们做了10的幂次的乘法,那么,我们能不能实现任意数的任意次幂呢?其实也是可以的(只要在量程范围内)。
我们知道log(ab)=loga+logb,可以用加法表示乘法,那么要用加法表示乘幂呢?log(a^b)=bloga,只能转成乘法。而log(log(a^b))=log(bloga)=logb+log(loga)。
所以,需要用loglog才能实现,考虑到目前我们还没有用过e=2.7182818284...,此外log的底数10对于幂过大了,因此LL我们用的就是e。
如果设C尺的读数为x,则
LL3=e^x;LL03=e^(-x);
LL2=e^(x/10);LL02=e^(-x/10);
LL1=e^(x/100);LL01=e^(-x/100);
LL0=e^(x/1000);LL00=e^(-x/1000);
因此,我们就能用这些来实现量程内的乘幂计算。其中LL+1位数字适合的底数大于1,LL+2位数字适合的底数小于1。
可以看出,LL后面的数字每+1,其结果就为10次幂。
例:计算1.1¹⁰。
计算方法:因为1.1>1,所以我们在LL+1位数字尺上寻找,找到LL1上有1.1,将游标对着LL1上的1.1,观察LL2上的读数,为2.59。
同理,此时可以在LL3上度出1.1¹⁰⁰=13800(3位有效数字)。此外,开10次方根时,只需要数字-1即可。
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14楼
2020-10-27 20:38
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(上面写的时候脑子有点乱,如果你能看到我的楼中楼回复,无视即可)
同时,要计算负数次幂,就是将1位变2位,2位变1位。
例:计算0.9⁻¹⁰。
计算方法:由于0.9<1,将游标对准LL02上的0.9,此时LL3上的内容为2.87,为结果。
例:计算5⁻⁰·¹。
计算方法:由于5>1,将游标对准LL3上的5,此时LL02上的内容为0.8513,为结果。
此时,你也能发现,可以利用这一点计算倒数,比如要计算3的倒数,其实就是计算3⁻¹,将游标移到LL3的3后,在LL03上读数即可。
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15楼
2020-10-27 20:49
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最后就是任意数的任意次幂了,此时就需要结合LL和C来进行计算了。
例:计算9.1²·³。
计算方法:将游标对着LL3上的9.1,将C的1(左侧)对着游标,将游标移动到C的2.3处,在LL3上读数得161。
在LL尺度上,就是可以用加法来进行乘幂的。
注意到最大的LL3也只支持e¹⁰,对应到刻度上,最大值为22000。其实如果刻度用10为底数设计,是最大能达到10¹⁰的,但精度会损失不少。如果有兴趣做更大量程的,也可以考虑自己加上LL4的刻度。
同乘除法越界的情况类似,如果越界了,就需要使用C右边的10,不过注意此时需要换一档读数。
比如计算1.9²·⁵时,如果按照上述操作,会发现C的2.5超过了右边,此时需要将C的10对准LL2上的1.9(利用游标),然后在LL3上读C的2.5对应的值,为4.97。
另外,计算小于1的指数时,也可以使用类似方法。右边对准时,在原尺上读数。左边对准时,数字-1。大于10的指数反之亦然。
例:计算1.2⁰·³⁴。
计算方法:LL2上的1.2对着C的1,然后用C的3.4读LL1上的数,得1.064。
总之,后面的数字+1表示10次幂,用C右边的10对准时表示0.1次幂,可以利用幂的性质进行计算。
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16楼
2020-10-27 21:11
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