再谈几何反演（光学意义及广义几何反演）

当我们的镜面曲线为任意圆锥曲线时，显然”反演“这个工具就不能用了，这个就要谈谈镜像绘制过程了：

如上图，原像为一多边形，镜面为一五点圆锥曲线：
1、在原像上描点F，过F点作圆锥曲线的切线和极线。
2、再过F作极线的垂线。
3、作垂线和极线的交点G。
4、作轨迹：轨迹(G, F)
让F动起来：

来个立体反演图：

个人以为，比较好的反演方式是把一个点对应到极线与点到圆锥曲线中心连线的交点。因为这样可以使反演的逆映射仍然是反演。

我也在想这个问题，因为还没有从光线反射的角度弄清楚，所以不太确定是极线垂线交点好还是中心连线与极线交点好。
如果从广义反演这个概念来说，你说的完全正确，我这个其实已经不是广义反演了，因此开篇说了暂时起这个名。从以圆为反演单位推广到圆锥曲线，中心连线与极线的交点，保留了反演的很多特性，如可逆，甚至OP*OP‘=r^2都保留了，只是这里的r不是半径，是圆锥曲线中心到中心连线与曲线交点的距离。如下图，B为圆锥曲线中心，直线为A点关于曲线的极线：

另外，在研究圆锥曲线中点弦的时候，发现C（反演点）为弦的中点，原因是其中点弦方程与极线方程完全一样：
我们设圆锥曲线为eq3,
p(x, y) = 左边(eq3) - 右边(eq3)
eq6: p(x, y) - p(2x(C) - x, 2y(C) - y) = 0

eq6为C点中点弦方程，它与A点极线完全重合，因此C点必为线段HI的中点。

这里顺便给出极线方程：
设曲线方程为：

极点A坐标为（x_0,y_0),则极线方程为：

当A点在曲线上时，方程即为切线方程。

根据上边情况，我们知道极线所在弦的中点即为极点关于圆锥曲线的反演点，且有形如PA*PB=r²这样的关系，我们就可以反过来求圆锥曲线的中心点了，这也算是对一般圆锥曲线中心点求法的一种了，如图，A点关于圆锥曲线的极线交曲线于H、I，弦HI的中点C为A的广义反演点。AC连线交曲线于F，设圆锥曲线中心点为B（待定），B必在直线AC上：

我们设线段CB长度为m,根据公式BC*BA=BF^2，可知：
m*(AC+m)=(m+FC)²
化简得：
m=FC²/(AC-2FC)
于是我们可知：
B=A + 单位向量(向量(A, C)) (AC + FC² / (AC - 2FC))
或者：
B=C + 单位向量(向量(A, C)) FC² / (AC - 2FC)
注：这里形如AC、FC等是指线段AC、FC长度，不是A点乘以C点。