先说一下费马点,如下图,在三角形ABC中有一点动点P,求PA+PB+PC最小值,这个最小值就是P移动到费马点时的值:
A = (7.33194, 6.51164)
B = (3.30534, 2.73497)
C = (10.54883, 2.63574)
f = 线段(A, B)
g = 线段(B, C)
h = 线段(C, A)
P = (7.7401, 4.24824)
l = 线段(P, A)
m = 线段(P, B)
n = 线段(P, C)

特殊情况我们暂不考虑,如三角形有顶角大于120度的情况,我们不妨再看看费马点的作法:
A' = 旋转(A, 60°, B)
c: 圆周(A, A', B)
i = 线段(A', C)
D = 交点(c, i, 2)
j = 线段(A, A')
k = 线段(A', B)

当P点移动到D点时,PA+PB+PC最小,且等于A‘C,下面再看看证明过程:
P' = 旋转(P, -(60°), A)
t1 = 多边形(P', A, A')
p = 线段(P', P)

我们将三角形APB旋转60度,如上图,当C、P、P‘、A’四点共线时,PA+PB+PC最小,P移动到D点时满足条件。
当然我们这贴子不是讨论以上情况,只是对费马点作了回顾,下边要用到上面的思路。
问题来了:求2PA + 3PB + 4PC的最小值,这个求值就叫加权费马点问题。
由上边费马点的作法,我们是在一条边上构建了一个等边三角形,因为这时候PA、PB、PC权重比为1:1:1,由此我们将上边问题先除以最大权重4,得PA:PB:PC=1/2:3/4:1,PC对应边为AB,于是我们仿费马点做法,在AB边上构建三角形,边上比为1/2:3/4:1:
d: 圆周(B, f / 2)
e: 圆周(A, 3 / 4 f)
E = 交点(d, e, 1)
q = 线段(A, E)
r = 线段(E, B)
s = 线段(E, C)
t: 圆周(A, E, B)
F = 交点(t, s, 2)

当P点移动到F点时,2PA + 3PB + 4PC最小,且等于4CE,证明可参考上边费马点证明,略去。
注:若PA、PB、PC权重不足以构成三角形,则F点为权重最大对应点,若上图C点在兰色外接圆内,则C为F点,这些特殊情况不再一一作图。
A = (7.33194, 6.51164)
B = (3.30534, 2.73497)
C = (10.54883, 2.63574)
f = 线段(A, B)
g = 线段(B, C)
h = 线段(C, A)
P = (7.7401, 4.24824)
l = 线段(P, A)
m = 线段(P, B)
n = 线段(P, C)

特殊情况我们暂不考虑,如三角形有顶角大于120度的情况,我们不妨再看看费马点的作法:
A' = 旋转(A, 60°, B)
c: 圆周(A, A', B)
i = 线段(A', C)
D = 交点(c, i, 2)
j = 线段(A, A')
k = 线段(A', B)

当P点移动到D点时,PA+PB+PC最小,且等于A‘C,下面再看看证明过程:
P' = 旋转(P, -(60°), A)
t1 = 多边形(P', A, A')
p = 线段(P', P)

我们将三角形APB旋转60度,如上图,当C、P、P‘、A’四点共线时,PA+PB+PC最小,P移动到D点时满足条件。
当然我们这贴子不是讨论以上情况,只是对费马点作了回顾,下边要用到上面的思路。
问题来了:求2PA + 3PB + 4PC的最小值,这个求值就叫加权费马点问题。
由上边费马点的作法,我们是在一条边上构建了一个等边三角形,因为这时候PA、PB、PC权重比为1:1:1,由此我们将上边问题先除以最大权重4,得PA:PB:PC=1/2:3/4:1,PC对应边为AB,于是我们仿费马点做法,在AB边上构建三角形,边上比为1/2:3/4:1:
d: 圆周(B, f / 2)
e: 圆周(A, 3 / 4 f)
E = 交点(d, e, 1)
q = 线段(A, E)
r = 线段(E, B)
s = 线段(E, C)
t: 圆周(A, E, B)
F = 交点(t, s, 2)

当P点移动到F点时,2PA + 3PB + 4PC最小,且等于4CE,证明可参考上边费马点证明,略去。
注:若PA、PB、PC权重不足以构成三角形,则F点为权重最大对应点,若上图C点在兰色外接圆内,则C为F点,这些特殊情况不再一一作图。