5444 欧拉线(Own)

O为△ABC外心，圆BOC再交AB,AC于J,K，JK与BC交于D，E,F为B,C在AC,AB上的垂足。
证明:△AEF的欧拉线垂直于AD。
高联难度

。

确实高联难度

只用证ABC欧拉线垂直AD等角线，作反演反射后K,J为L,I，则易证ALI外心为H（三角形ABC垂心）两圆交点T与D对应，AH=HT,AO=OT故OH⊥AT，证毕！

原命题是AX_74平行于△AEF的欧拉线

(利用4286 三楼引理即得等价性)
图一:设△ABC垂心为H,H关于BC对称点为Ha，O关于BC对称点为O'，由图中红色全等知红色角相等(X_110为△ABC的欧拉反射点)
图二:设AC边中点为M,O',H'为△AEF的外心，垂心，AO交EF于DM在AH上投影为G,则由绿色逆相似→红色逆相似→红色共圆
余下导角即得。

推论1:设垂心的三线性极线交AB,BC,AC为Z,X,Y,定义Oa为△AXY外心，类似定义Ob,Oc，则AOa,BOb,COc交于X_74.
推论2:设△DEF为垂△，则△AEF,△BDE,△CDF的欧拉线交于Jerabek双曲线的中心X_125.

注意AEF和ABC逆相似，所以可以导欧拉线的夹角

扫二维码下载贴吧客户端

下载贴吧APP
看高清直播、视频！

5回复贴，共1页

<<返回纯几何吧

分享到:

日	一	二	三	四	五	六