5580 [Own]

O,H为△ABC的外心,垂心，BH,CH交对边于D,E，DE交圆ABC于两点F,G，M为BC中点，FM,GM再交圆ABC于K,I，FI,GK交BC于J,L.
证明:△AFG~△OJL.

漂亮题

2025-03-29 02:28广告

提示一下:本题可以用到2100

感谢道道大师作出关键的K',L'两点
感谢弱鸡绿毛怪指出可以对M点反演

引理常用来刻画外心和BC边上一点的连线

先上图。
感觉可以开个小专题，1345的垂心版

抱歉，因为有事，我的过程还没上完

可能等今晚才有空写

这里感谢豪神的整理

对于豪神的那个相似的一点笔记

来两个道道大师发现的。
两个三角形的相似中心值得考察

F、G刻画：AF^2=AG^2=AM^2-MC^2. （这要求角A是锐角）
G处切线交BC于N,易证MG垂直AN,从而角ANG=LNO,角ANO=LNI'。
只需证图中两三角形相似，为此只需角NAO=NI'L.
NAO=90-AO夹MG, NI'L=90-OIF，注意到FOA=FIM即得结论。

中心Q是圆PFJ与PGL交点，这两圆相应地过K、I关于OM的对称点K'、I'
K'I'过P，以及FK',GI'交于M的反点R，考虑圆PFJ与PGL与圆O，所以PQ过R
易知K'I'QR共圆所以Q也在圆OBC上，从而得到11楼前半。

12楼
首先QGL相似QAO,所以只需证FAO相似HGL，设A的对径点A'，进一步只需FGH相似A'GL（对称的有FGH相似A'FJ）
感觉用7楼的结果大概能证？但是7楼图片看不清

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