由于数列 {a[n]} 有界，即存在一个实数 M 使得对于任意正整数 n，都有 |a[n]|<=M。
取任意一个收敛的数列 {b[n]}，使得 lim(n→∞) b[n] = L，而且 |b[n]|<=M 对于所有正整数 n 都成立。
假设数列 {a[n]} 不收敛，那么存在一个ε>0，使得对于任意正整数 N，都存在一个正整数 n>N，满足 |a[n]-L|>=ε。
我们可以取 b[n] = min{a[n], a[n+1]}。由于 a[n]<=a[n+2] 和 a[n]<=a[n+3]，
如果 a[n]<=a[n+1]，那么 b[n]=a[n]；
如果 a[n]>a[n+1]，那么 b[n]=a[n+1]<=a[n+3]。
因此，无论哪种情况，都有 b[n]<=a[n+3]，因此对于所有正整数 n，都有 |b[n]|<=M。
另一方面，根据数列 {a[n]} 不收敛的假设，存在一个 ε>0，使得对于任意正整数 N，都存在一个正整数 n>N，满足 |a[n]-L|>=ε。由于 a[n]<=M，
有：|b[n]-L| = |a[n]-L| >= ε。因此，数列 {b[n]} 也不收敛到 L。
这与我们之前选取的数列 {b[n]} 收敛到 L 矛盾，因此我们的假设不成立。因此数列 {a[n]} 必须收敛。

根据第一个条件，所有奇数index的项组成的子列收敛，记该极限为A；所有偶数index的项组成的子列收敛，记该极限为B。根据第二个条件，所有index为6的倍数的项构成的子列收敛，而这个子列是上述第一个子列的子列，因此其极限为A；所有index是mod 6余3的数的项构成的子列收敛，它是上述第二个子列的子列，因此其极限为B。上述第三个和第四个子列都是index为3的倍数的项构成的子列的子列，而该子列，根据第二个条件，是收敛的，因此A=B，故而原序列收敛。