p=2时，可以证明数列必然进入重复循环，循环节为gcd(x,y)的最大奇因子
若不出现循环（即不存在连续三项相同，可以得到max(a(3),a(4)) > max(a(5),a(6)) > …，矛盾
记t为进入循环的最小下标，构成的方阵在OEIS A369876

p=3时，猜想数列也会进入循环，循环节长为3，（1，1，2）乘gcd(x,y)的最大不是3倍数的因子，暂时没有证明

p=5时，存在模5不整除的循环（3，4，2，1），可以构造出x=3，y=4开始的Fibonacci数列，不一定进入循环
较短的循环有（1，2，3，1，4，1）

p>5时，暂时没有找到循环

@蔸蔸白 @printf

暂时没有什么想法，你这个数列的想法来源于什么啊

数列从第三项开始，都与p互素，如果把a(3)和a(4)当作x, y，那只要讨论x, y都与p互素时的情况，如果d=gcd(x, y)，x=d*x'，y=d*y'，假设由a(1)=x'和a(2)=y'得到的下一项是a'(3)，因为d与p互素，所以a(3)=d*a'(3)，然后就可以归纳证明数列中每一项a(n)=d*a'(n)
这样就只用考虑x, y互素且都不被p整除的情况，这时数列中相邻两项一定互素
p=2时已经证明只会循环到{1}
p=3时检验了x<1000, y<1000的情况，应该都循环到{1, 1, 2}
p=5时检验x<1000, y<1000，其中进入循环的，只出现了两种{1, 1, 2, 3, 1, 4}和{4, 3, 7, 2, 9, 11}，如果还有其他循环，循环节至少499位
p=7, 11, 13, 17时全都一片空白

数论吧里面见过类似的题，我去顶一下

首先有一个结论：不存在循环 等价于 数列无界（可用抽屉原理证）

lz做出来了吗

只想到了这个问题可以推广一点
可以把素数p换成大于1的任意整数b，在b进制下，n≥3时a(n)等于a(n-1)+a(n-2)在b进制下去掉末尾所有的0得到的数
或者换成n≥3时a(n)等于a(n-1)+a(n-2)最大的与b互素的因数
或者是从二阶递推变成更多级递推
不管怎么改都很难做，大部分情况都找不到循环

通过概率讨论，可以说明a(i+2)的数学期望为(a(i)+a(i-1))*(p-1)/(p+1)，p>=5时这个值大于1/2，（不严格地）表明数列大致递增
p=3时这个值恰好等于1/2，无法说明递增或递减，猜想需要更高级的数学工具才能证明，难度可能不低于Collatz猜想
Collatz猜想也可以运用概率计算，得到下一项平均是前一项的3/4

逆天