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关于任意周长可组成的三角形个数问题的探讨

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端午节快乐!
今天本来休息,小朋友问了我一道数学题:
周长为14,三条边都为整数,可组成多少个三角形?
要解决这个问题,要有下面两个条件:
1.两边之和大于第三边;
2.边长相同但顺序不同视为同一个三角形。
经过穷举法,发现周长14共有4种三角形组合,分别是:{2,6,6}、{4,4,6}、{4,5,5}、{3,5,6}
小朋友的问题是暂时解决了,但作为计算机专业的的我怎么能用这么笨的办法呢?于是我借助电脑又研究了一番,起码给小朋友找个规律


IP属地:山西1楼2024-06-08 23:55回复
    但是我研究了半天,发现这并不是一个简单的事情。网上先搜了下资料,标准答案似乎都是穷举。
    于是我用python码了代码,依旧是穷举法:


    IP属地:山西2楼2024-06-08 23:56
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      输出结果(详情已省略,以下等腰三角形含等边三角形)
      周长: 3,三角形数量: 1,等腰三角形: 1
      周长: 4,三角形数量: 0,等腰三角形: 0
      周长: 5,三角形数量: 1,等腰三角形: 1
      周长: 6,三角形数量: 1,等腰三角形: 1
      周长: 7,三角形数量: 2,等腰三角形: 2
      周长: 8,三角形数量: 1,等腰三角形: 1
      周长: 9,三角形数量: 3,等腰三角形: 2
      周长: 10,三角形数量: 2,等腰三角形: 2
      周长: 11,三角形数量: 4,等腰三角形: 3
      周长: 12,三角形数量: 3,等腰三角形: 2
      周长: 13,三角形数量: 5,等腰三角形: 3
      周长: 14,三角形数量: 4,等腰三角形: 3
      周长: 15,三角形数量: 7,等腰三角形: 4
      周长: 16,三角形数量: 5,等腰三角形: 3
      周长: 17,三角形数量: 8,等腰三角形: 4
      周长: 18,三角形数量: 7,等腰三角形: 4
      周长: 19,三角形数量: 10,等腰三角形: 5
      周长: 20,三角形数量: 8,等腰三角形: 4
      周长: 21,三角形数量: 12,等腰三角形: 5
      周长: 22,三角形数量: 10,等腰三角形: 5
      周长: 23,三角形数量: 14,等腰三角形: 6
      周长: 24,三角形数量: 12,等腰三角形: 5
      周长: 25,三角形数量: 16,等腰三角形: 6
      周长: 26,三角形数量: 14,等腰三角形: 6
      周长: 27,三角形数量: 19,等腰三角形: 7
      周长: 28,三角形数量: 16,等腰三角形: 6
      周长: 29,三角形数量: 21,等腰三角形: 7
      周长: 30,三角形数量: 19,等腰三角形: 7
      周长: 31,三角形数量: 24,等腰三角形: 8
      周长: 32,三角形数量: 21,等腰三角形: 7
      周长: 33,三角形数量: 27,等腰三角形: 8
      周长: 34,三角形数量: 24,等腰三角形: 8
      周长: 35,三角形数量: 30,等腰三角形: 9
      周长: 36,三角形数量: 27,等腰三角形: 8
      周长: 37,三角形数量: 33,等腰三角形: 9
      周长: 38,三角形数量: 30,等腰三角形: 9
      周长: 39,三角形数量: 37,等腰三角形: 10
      周长: 40,三角形数量: 33,等腰三角形: 9
      周长: 41,三角形数量: 40,等腰三角形: 10
      周长: 42,三角形数量: 37,等腰三角形: 10
      周长: 43,三角形数量: 44,等腰三角形: 11
      周长: 44,三角形数量: 40,等腰三角形: 10
      周长: 45,三角形数量: 48,等腰三角形: 11
      周长: 46,三角形数量: 44,等腰三角形: 11
      周长: 47,三角形数量: 52,等腰三角形: 12
      周长: 48,三角形数量: 48,等腰三角形: 11
      周长: 49,三角形数量: 56,等腰三角形: 12
      周长: 50,三角形数量: 52,等腰三角形: 12
      周长: 51,三角形数量: 61,等腰三角形: 13
      周长: 52,三角形数量: 56,等腰三角形: 12
      周长: 53,三角形数量: 65,等腰三角形: 13
      周长: 54,三角形数量: 61,等腰三角形: 13
      周长: 55,三角形数量: 70,等腰三角形: 14
      周长: 56,三角形数量: 65,等腰三角形: 13
      周长: 57,三角形数量: 75,等腰三角形: 14
      周长: 58,三角形数量: 70,等腰三角形: 14
      周长: 59,三角形数量: 80,等腰三角形: 15
      周长: 60,三角形数量: 75,等腰三角形: 14
      周长: 61,三角形数量: 85,等腰三角形: 15
      周长: 62,三角形数量: 80,等腰三角形: 15
      周长: 63,三角形数量: 91,等腰三角形: 16
      周长: 64,三角形数量: 85,等腰三角形: 15
      周长: 65,三角形数量: 96,等腰三角形: 16
      周长: 66,三角形数量: 91,等腰三角形: 16
      周长: 67,三角形数量:102,等腰三角形: 17
      周长: 68,三角形数量: 96,等腰三角形: 16
      周长: 69,三角形数量:108,等腰三角形: 17
      周长: 70,三角形数量:102,等腰三角形: 17
      周长: 71,三角形数量:114,等腰三角形: 18
      周长: 72,三角形数量:108,等腰三角形: 17
      周长: 73,三角形数量:120,等腰三角形: 18
      周长: 74,三角形数量:114,等腰三角形: 18
      周长: 75,三角形数量:127,等腰三角形: 19
      周长: 76,三角形数量:120,等腰三角形: 18
      周长: 77,三角形数量:133,等腰三角形: 19
      周长: 78,三角形数量:127,等腰三角形: 19
      周长: 79,三角形数量:140,等腰三角形: 20
      周长: 80,三角形数量:133,等腰三角形: 19
      周长: 81,三角形数量:147,等腰三角形: 20
      周长: 82,三角形数量:140,等腰三角形: 20
      周长: 83,三角形数量:154,等腰三角形: 21
      周长: 84,三角形数量:147,等腰三角形: 20
      周长: 85,三角形数量:161,等腰三角形: 21
      周长: 86,三角形数量:154,等腰三角形: 21
      周长: 87,三角形数量:169,等腰三角形: 22
      周长: 88,三角形数量:161,等腰三角形: 21
      周长: 89,三角形数量:176,等腰三角形: 22
      周长: 90,三角形数量:169,等腰三角形: 22
      周长: 91,三角形数量:184,等腰三角形: 23
      周长: 92,三角形数量:176,等腰三角形: 22
      周长: 93,三角形数量:192,等腰三角形: 23
      周长: 94,三角形数量:184,等腰三角形: 23
      周长: 95,三角形数量:200,等腰三角形: 24
      周长: 96,三角形数量:192,等腰三角形: 23
      周长: 97,三角形数量:208,等腰三角形: 24
      周长: 98,三角形数量:200,等腰三角形: 24
      周长: 99,三角形数量:217,等腰三角形: 25
      周长:100,三角形数量:208,等腰三角形: 24


      IP属地:山西3楼2024-06-08 23:56
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        这样列出来,我一头雾水。这个数列的分布及其奇怪
        我发现的一些规律:
        1.周长为奇数,从5开始每逢奇数周长+1;从15开始,每逢奇数周长+2;从27开始,每逢奇数周长+3;从31开始,每逢奇数周长+4;如(周长-个数):5-1、7-2、9-3、11-4、13-5、15-7、17-8、19-10、21-12、23-14、25-16、27-19……
        2.偶数也有类似情况,不再赘述
        3.周长为3的倍数,情况如下:3-1、6-1、9-3、12-3、15-7、18-7、21-12、24-12、27-19、30-19、33-27、36-27、39-37、42-37、45-48、48-48、51-61、54-61、57-75、60-75、63-91、66-91、69-108、72-108、75-127、78-127、81-147、84-147、87-169、90-169、93-192、96-192、99-217……
        4.上面的情况好像有重复,于是我取了周长为6的倍数,情况如下:6-1、12-3、18-7、24-12、30-19、36-27、42-37、48-48、54-61、60-75、66-91、72-108、78-127、84-147、90-169、96-192……
        省略周长,数列为:1、3、7、12、19、27、37、48、61、75、91、108、127、147、169、192、217、243、271、300、331、363、397、432、469、507、547、588、631、675、721、768、817、867、919、972、1027、1083、1141、1200、1261、1323、1387、1452、1519、1587、1657、1728、1801、1875……
        其中有很多质数,完全看不懂。求教各位大神


        IP属地:山西4楼2024-06-08 23:57
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          先找到一个最接近等边三角形的比如100的总长为33/33/34,然后变化两腰减加1,底边加减2,还要满足两腰之和大于底,所有等腰三角形就列出来了


          IP属地:河北来自Android客户端5楼2024-06-09 07:23
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