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如果f(p, q)是指(1)里面的∑a_i 的话，可以用四平方和定理来证
设q=kp+r，其中k, r为非负整数，0≤r≤p-1
按照四平方和定理，总存在4个非负整数a, b, c, d使得a²+b²+c²+d²=pr，由于pr<p²，所以a, b, c, d都不超过p
由柯西不等式 a+b+c+d ≤ 2sqrt(pr)<p+r，那 kp+a+b+c+d < kp+p+r = p+q
另外 kp²+a²+b²+c²+d²= kp²+pr = pq
所以f(p, q) ≤ kp+a+b+c+d < p+q
设q=kp+r，其中k, r为非负整数，0≤r≤p-1
按照四平方和定理，总存在4个非负整数a, b, c, d使得a²+b²+c²+d²=pr，由于pr<p²，所以a, b, c, d都不超过p
由柯西不等式 a+b+c+d ≤ 2sqrt(pr)<p+r，那 kp+a+b+c+d < kp+p+r = p+q
另外 kp²+a²+b²+c²+d²= kp²+pr = pq
所以f(p, q) ≤ kp+a+b+c+d < p+q
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