不过实在是不会用电脑验证（如果不对，请求通融）

好像少了一半，x²+y²=2450的整数解(x,y)还有(7,-49),(-7,49),(49,-7),(-49,7),(35,-35),(-35,35)，应该是4(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_s)才对
对正整数n, x²+y²=n的整数解(x, y)的个数还有一个公式是r(n)=4(d₁(n)-d₃(n))
其中d₁(n)表示n的4k+1型因数的个数，d₃(n)表示n的4k+3型因数的个数，并且可以证明χ(n)=d₁(n)-d₃(n)是一个积性函数

顶一下~~这应该是定理，但有没有谁会证明呀本来还想用简单一点的办法做好发出来呢，结果被绕进去了

早就知道了，是定理

初等方法的话，只找到了这个，不过这个命题要求x，y互素，但说不定可以当个小方向

楼上的推论2.69忘记发了，在本楼发一下

不过这个题在初等数论范围内应该挺难解的，但从代数数论上讲：
对于高斯整数环Z[i]的每个理想均有形式x=a+bi，故N（x）=N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,换句话说，我们证明了：n满足条件<=>n为Z[i]上的某个理想的范
故满足题设的（x，y）的个数极为Z[i]的整数环O中范为n的个数.对于O上的每个x，若N（x）=n，则主理想（x）=xO的范也是n，而O中的理想均为主理想，且（x)=(x*)<=>x=kx*,k=1,-1,i,-i
故满足题设的（x，y）的个数为O中范为n的理想的个数的四倍，所以只需求理想的个数
如果可以求出2，p，q的素理想分解，那这题应该可以解奈何我学艺不精完全不知道他们的素理想分解咋求
话说@蔸蔸白 你找到的方法是咋求的？哈代数论我没买，初等方法我已经放弃了（想了十几天还是想不出来）

按照6楼的结论可以这样推出主楼猜想的结果
对正整数n
(1)满足x²+y²=n的整数对(x,y)的个数r₂(n), 与满足x²+y²=n, x>0, y≥0的整数对个数f(n)之间满足r₂(n)=4f(n)
(2)设满足x²+y²=n,x>0, y≥0且gcd(x,y)=1的整数对个数为g(n), 则f(n)=∑(d²|n) g(n/d²)
(3)(6楼结论) g(n)等于z²≡-1(mod n)的模n解的个数h(n)
(4)设k为正整数,
①对4t+3型素数q, h(q^k)=0
②对4t+1型素数p, h(p^k)=2
③对k≥2, h(2^k)=0
④h(1)=h(2)=1
(5)h(n)有积性, 因此
①若n≡0(mod 4)或n有4t+3型素因子, 则h(n)=0
②若n的每个奇素因子都是4t+1型, 并且n≡2(mod 4), 则h(n)=h(n/2)
③若n=1或者n的每个奇素因子都是4t+1型, 并且n≡1(mod 4), 则h(n)=2^ω(n), 其中ω(n)表示n的不同素因子种类数, ω(1)=0
(6)设正整数n≡1(mod 4), n的每个素因子都是4t+1型的或者n=1
令n=r*s₁²*s₂², 其中r为无平方因子数, s₁的每个素因子都整除r, s₂与r互素
则f(n)=∑(d²|n) g(n/d²)= ∑(d²|n) h(n/d²)
= ∑(d|s₁s₂) h(n/d²)
= ∑(d₁|s₁, d₂|s₂) h(r*s₁²/d₁²)*h(s₂²/d₂²)
= ∑(d₁|s₁, d₂|s₂) 2^ω(r*s₁²/d₁²)*2^ω(s₂²/d₂²)
= ∑(d₁|s₁, d₂|s₂) 2^ω(r)*2^ω(s₂/d₂)
= 2^ω(r) * ∑(d₁|s₁, d₂|s₂) 2^ω(s₂/d₂)
= 2^ω(r)*d(s₁) * ∑(d₂|s₂) 2^ω(s₂/d₂)
= 2^ω(r)*d(s₁) * ∑(d₂|s₂) 2^ω(d₂)
= d(r*s₁²) * ∑(d₂|s₂) 2^ω(d₂)
(7) 可以证明 ∑(d|m) 2^ω(d) = d(m²) 对任意正整数m都成立
则对于条件(6)中的n, f(n) = d(r*s₁²) * d(s₂²) = d(r*s₁²*s₂²) = d(n)
类似(6)还可以证明, 对于n≡2(mod 4)且n的每个奇素因子都是4t+1型的n, f(n)=f(n/2)
(8)对一般的正整数n, 若某个4t+3型素因子q满足q²|n,则f(n)=f(n/q²)
若4|n, 则f(n)=f(n/4)
因此若n被每个4t+3型素因子整除次数为偶数, 设n的所有4t+1型素因子乘积为m,
则f(n)=f(m)=d(m)或f(n)=f(2m)=f(m)=d(m), 从而 r₂(n)=4f(n)=4d(m)

事实上，对于d=-1的二次域k=Q（d^0.5），他的素理想分解并不是很难求（字可能有点丑）