三元数是不合理的，因为在运算律上产生矛盾，但是有四元数，四元数集称为H，由数学家哈密顿提出，可以了解一下。

你无法定义良好的乘法

可以定义一下，令x=a+bi+cj,i²=j²=-1

先问是不是再问为什么
你只想要个三元变量的话空间向量就行

目前已知有实数，复数，四元数和八元数，但是只有实数和复数是域（有可交换的加法乘法，非0元有乘法逆），四元数乘法不可交换，八元数连结合律都没有［a（bc）≠（ab）c］，之所以没有什么三元数之类的是因为像复数和四元数之类的乘法本质可以看做方阵之间的运算，比如复数域是实二阶方阵的一个子域，所以不会有三元数这种。

解析几何

三元数不完备

因为你理解的太肤浅 复数的几何性质只是附带的

不是有向量吗，多少维都可以

运算率不完备，不算于没有吧？
比如，可以按向量定义运算，然后，按向量方式运算，最后，按“三元数”方式记录结果。

线性代数了解一下

不见得没人研究过，我觉得易经就是古代的量子力学，它的波函数是用三维复变函数，也就是八卦表示，八卦符号中长横的阳爻表示函数自身，阴爻表示对该轴的共轭(二维复变函数的共轭只取对实轴的共轭，但三维可能对三个轴分别取共轭)，所以一个复变函数有七个共轭函数，把一对共轭函数放在一起做内积，就用六十四卦表示。量子力学里内积表示粒子在某一时刻出现在某处空间的概率，三维复变函数做出的内积则关联某一时刻某事件发生的概率，所以可以用来占卜。
基于此我研究了一下三维复变函数，发现最基础的问题就是定义单位矢量之间的关系，二维复变函数两个轴是不等价的，比如1的平方等于1，但i的平方不等于i，等于-1(共轭只能对实轴取也是因为这种不等价，导致对不同的轴共轭也是不等价的)。所以我试图定义三维复变函数里三个轴上的单位矢量有如下关系：i^2=j，j^2=k，k^2=i，ij=jk=ik=0，但这种定义的跟现有二维复变函数不一致，二维复变函数的性质不能向三维拓展，所有的东西，比如算术运算，微分，积分，级数等等都要重新做，我目前抽不出时间去做如此大量的工作，等以后退休了再研究吧

最大的数域是复数域，你可以用矩阵定义高元数，但这些高元数的性质没好到能变成域

a+bi+cj不就是吗？