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应该是对的, 当k,m为正整数时, 因为2^m-1 | 2^(3m)-1, 由gcd(2^k+1,2^(3m)-1)=1可得gcd(2^k+1,2^m-1)=1
反过来假设存在正整数k,m使得gcd(2^k+1,2^m-1)=1 且gcd(2^k+1,2^(3m)-1)>1
设p是gcd(2^k+1,2^(3m)-1)的一个素因子, 则p为奇数, p与2^m-1互素
由p|2^(3m)-1, p不整除2^m-1, 可得2模p的阶是3的倍数
由p|2^k+1可得p与2^k-1互素, 又由p|2^(2k)-1可得2模p的阶是偶数
所以2模p的阶是6的倍数, 设为6t, t为正整数
因为p|2^k+1, 则k是3t的奇数倍, 设k=3at, a为正奇数
又因为p|2^(3m)-1, 所以3m是6t的整数倍, 设m=2bt, b为正整数
由2^t+1 | 2^(2t)-1, 2^(2t)-1 | 2^m-1, 可得2^t+1 | 2^m-1
又因为k=3at是t的奇数倍, 所以2^t+1 | 2^k+1
则2^t+1 | gcd(2^k+1, 2^m-1), 与gcd(2^k+1,2^m-1)=1矛盾, 因此gcd(2^k+1,2^m-1)=1时gcd(2^k+1,2^(3m)-1)=1也成立