一、几何部分
在三维空间中有一个不规则多面体 ABCDEFGHIJKL，其各个顶点坐标分别为：
- A(1, \sqrt{2}, \pi)，B(10^8 + \sqrt{3}, 10^9 - \sqrt{5}, 10^{10})，C(10^{11} \times \sqrt{7}, 10^{12} \div \sqrt{11}, 10^{13} + \sqrt{13})，D(10^{14} - \sqrt{17}, 10^{15} \times \sqrt{19}, 10^{16} \div \sqrt{23})，E(10^{17} \div \sqrt{29}, 10^{18} + \sqrt{31}, 10^{19} - \sqrt{37})，F(10^{20} \times \sqrt{41}, 10^{21} \div \sqrt{43}, 10^{22} + \sqrt{47})，G(10^{23} - \sqrt{53}, 10^{24} \times \sqrt{59}, 10^{25} \div \sqrt{61})，H(10^{26} \div \sqrt{67}, 10^{27} + \sqrt{71}, 10^{28} - \sqrt{73})，I(10^{29} \times \sqrt{79}, 10^{30} \div \sqrt{83}, 10^{31} + \sqrt{89})，J(10^{32} - \sqrt{97}, 10^{33} \times \sqrt{101}, 10^{34} \div \sqrt{103})，K(10^{35} \div \sqrt{107}, 10^{36} + \sqrt{109}, 10^{37} - \sqrt{113})，L(10^{38} \times \sqrt{127}, 10^{39} \div \sqrt{131}, 10^{40} + \sqrt{137})。
1.辅助线构造：
- 连接 AB，BC，CD，DE，EF，FG，GH，HI，IJ，JK，KL，LA，得到多面体的棱。
- 过 A 点作平面 BCD 的垂线，垂足为 M。
- 连接 BM，CM，DM。
- 过 E 点作平面 FGH 的垂线，垂足为 N。
- 连接 FN，GN，HN。
- 过 I 点作平面 JKL 的垂线，垂足为 O。
- 连接 JO，KO，LO。
- 连接 MN，NO，OM。
- 连接 AE，EI，IA，并分别在 \triangle AEI 内作三条角平分线。
- 过 B 点作直线平行于 DE 交平面 FGH 于 P 点，连接 FP，GP，HP。
- 过 C 点作直线平行于 FG 交平面 JKL 于 Q 点，连接 JQ，KQ，LQ。
- 过 D 点作直线平行于 HI 交平面 ABC 于 R 点，连接 AR，BR，CR。
- 过 F 点作直线平行于 JK 交平面 AEI 于 S 点，连接 AS，ES，IS。
- 过 G 点作直线平行于 KL 交平面 BCD 于 T 点，连接 BT，CT，DT。
- 过 H 点作直线平行于 LA 交平面 FGH 于 U 点，连接 FU，GU，HU。
2.问题：
- 求多面体 ABCDEFGHIJKL 的体积。
- 求平面 ABC 与平面 FGH 所成二面角的余弦值。
- 求线段 AM，EN，IO 的长度。