别忘了Cayley Theorem 很重要的一个推论: 对于有限群G，G的子群H 的index为能整除|G|最小的素数，那么H在G中是normal的。
对于你这个问题，G是个p群，H的index是p，自然是符合那个最小的素数哦，并且这个群还是个极大子群。其实在任何p群P中，假设P的order 为pⁿ，那么order 为pⁱ,其中0≤i≤n，的正规子群都存在。