这本书我记得是高二的时候买的，但买了之后没么看（大体翻了翻，看了四分之一左右），这个寒假才开始看，今天终于看完了

我认为本书的亮点部分：
1，给出了求一般的一元三次方程的“一个根”的方法。
2，介绍了自然对数e的由来。
3，利用复数轻松巧妙地解决了一个平面几何问题，而纯几何方法比较困难。
4，介绍了球极投影，自然引入无穷远点。黎曼将复平面上的无穷远处视为一个点，称为无穷远点。添加了无穷远点的复平面称为扩充复平面，在扩充复平面上，直线可以被认为是过无穷远点的圆周，于是直线与圆周得到了统一，统称为广义圆。

5，介绍了复数的交比。[z1,z2,z3,z4]=((z4-z1)/(z4-z2))/((z3-z1)/(z3-z2))称为z1,z2,z3,z4的交比。交比是实数的充要条件是4个点落在同一个广义圆上。

6，介绍了莫比乌斯变换（又称分式线性变换）：w=(az+b)/(cz+d)，其中ad-bc不等于0
莫比乌斯变换有至少5个性质：
（1），任何一个莫比乌斯变换都可以写成平移变换、旋转变换、位似变换、倒数变换的复合。
（2），保交比。
（3），保交角。
（4），保广义圆。
（5），保对称。

设圆O的圆心为a，半径为R，对于，给定的一点w不等于a，若z在a与w的射线上（a为端点），且满足
|z-a|*|w-a|=R^2，则称z为w关于圆O的对称点。
给定一个圆（或直线），把每一个点变到关于该圆（或直线）的对称点的变换称为反演。
倒数变换是两个反演的复合：分别为关于单位圆的与关于实轴的。

7，介绍了一种非欧几何：黎曼几何（又称双曲几何），把欧几里得第五公设——过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行——替换为：过直线外一点有无穷条直线与已知直线平行。
庞加莱模型把非欧几何中的每条定理都划归成一条有关圆弧的的欧氏几何中的命题。这样，非欧几何体系的无矛盾性就归结为欧氏几何系统的无矛盾性。
庞加莱模型把一个以原点为圆心，一个很大的正数R为半径的圆盘看做非欧几何的整个平面，其边缘记为圆周C，与C正交的一条圆弧或直线称为一条非欧直线。（注：两个圆正交是指交点处的切线互相垂直）
不相交的非欧直线称为平行。
作者问了一个思考题：过两个给定的点，怎样作一条非欧直线呢？（假设你有带刻度的直尺与圆规）

8，给出了代数基本定理的一个初等证明（中学生应该能看懂），介绍了辐角增量与多项式的辐角原理。
这一部分挺好玩。

9，简单介绍了欧拉乘积与黎曼猜想。
10，介绍了四元数的历史（怎样被发现的）和运算规则，以及四元数的启示。
最后一页有这样一句话，说的挺好：
数学的历史已经表明，数学研究的动力有两个方面：一个是来自于数学外部力量的推动，如各种实际应用的需求以及其他学科提出的各种数学问题；另一个则是来自于数学内部的力量，也就是没有任何实际应用背景的纯碎的数学问题（例如四元数。当然，现在四元数有了很大应用）。历史已经证明了这两种动力都是重要的，贬低任何一个都是不当的。

作者在本书中出了几个思考题，都被我独立解决了。其中有两个比较困难且非常好玩，分享给大家。
1，给定一个圆O1以及里面的两个定点A,B，怎样过A,B两点做一个圆O2使得这两个圆正交？
注1：假设你有圆规和带刻度的直尺。
注2：两个圆正交是指交点处的切线互相垂直。
注3：背景是庞加莱模型中的非欧直线。
本题高中生可做。

在发表我的解答之前，我先说说本书最大的缺点：错误太多！
在这本只有130多页的小书中竟然出现了25个错误！平均每5页出现一个错误！有些是印刷错误，有些是非常明显的病句，还有些是非常不该犯的技术性错误。我靠，简直超乎了我的想象，这作者、编辑和出版社也太不负责了吧？！别忘了出版社是著名的科学出版社，出现这么多的错误实在不应该。科学这方面一定要严谨，相关图书的质量一定要严格把关！
另外，我记得是在新华书店买的，所以应该不会是盗版。

本书的错误之处以及应该改为什么：
1，P6，x^3+px+p=0,应为x^3+px+q=0
2，P8，x^2+10x+40=0,应为x^2-10x+40=0
3，P9，q可能为负数,应为p可能为负数
4，P16，1837年，应为1737年
5，P11，人们发现，将复数写成下列一般形式，应为“可以将”

6，P41，“模为1的复数的平方的模仍为1，所以模为1的复数的平方根的模为1。”这是技术性错误，作者误认为原命题正确，则逆命题也正确。（说不定模为2的复数的平方的模也为1）
第一种解决方案：直接说“显然模为1的复数的平方根的模为1。“
第二种解决方案：”模为1的复数的平方的模仍为1，模不为1的复数的平方的模不为1，所以模为1的复数的平方根的模为1。”
第三种解决方案：“只有模为1的复数的平方的的模才为1，所以模为1的复数的平方根的模为1。”

7，P55，先它的从，改为”先从它的“
8，P59，(az+b)/(cz+d)=a/c+(ad-bc)/[c^2/(z+d/c)]，此为技术性错误，应为(az+b)/(cz+d)=a/c+(bc-ad)/[c^2(z+d/c)]
9，P59，”仿照全面的做法“，应为”仿照上面的做法“
10，P62，技术性错误，”其中theta(r)为由点a与z(r)及zeta(r)所决定的两条割线的夹角。“改为：”其中theta(r)为由点a与z(r)及zeta(r)所决定的两条割线的夹角和点b与z(r)及zeta(r)所决定的两条割线的夹角之差。“

11，P62，少了一个极限符号。
12，P66，应为当z=infinity时，定义其对称点z*=a
13，P72，应为d(0,x)=k|log[0,x,-R,R]|
14，P73，应为“自然就被定义为。”
15，P82，将P(x)改为P(z)