定义p进数的时候，可以用完备化方法，就给定一个域，然后给一个valuation，制造一个完备的扩大。也就能追到这罢，反正实数完备化的cauchy列那套东西是这个。

然而哪一个都不是公理

继续追本溯源就是皮亚诺公理了，没别的

简单地说，就是人为的认为，有界必有确界。当然，因为都是等价的，你也可以认为，就是强行认为其中的一条是对的，以此开始，证明其余都是对的。学习都是从简单到复杂的，等你学会之后，再严格的用数学语言表达，学会之前，鸟瞰学习路线的时候，只需提纲挈领，有个方向性的大局认知即可。学习之后，尽量能推出一条路线，而其他互相证明能听懂看懂，并且能从拓扑的角度理解，会更好。

追本溯源就是FOL、ZFC了

总结一下：
实数系基本定理是在有理数集的基础上定义实数后证明的一系列等价的命题。用有理数定义实数，比较常规的有两种方法，戴德金分割法需要用到ZFC公理体系中的幂集公理、内涵公理等，康托基本列法大概用到选择公理以及商集的概念（商集是啥公理搞出来的我记不得了，反正作商是个合法操作）。在此基础上，可以论证那7大命题中的所有。
7大命题每一个都可以给出实数集的定义，前面已经有对应于戴德金分割定理和柯西收敛准则的了。再比如确界存在定理——有上界的集合必有上确界，可以这么干：在有理数集中，定义集合上界的概念；有上界的有理数集称为实数；若两个有上界的有理数集A和B，A的上界都是B的上界，反之亦成立，则认为A和B表达了同一实数（形式地说，A和B等价）。这样也是定义了实数集，然后就可以挨个证明7大命题了。
用闭区间套定义实数的方法见科朗《什么是数学》，大概是第一章。