请教，如何证明这个级数收敛。

先考虑 p_n是递增的, 于是 2n /( p_n+...+p_2n) <= 2/p_n
2n+1/(p_1+...+p_2n+1)<=2/p_n
从而易知级数收敛。
当p_n不是递增的，任取N 固定，设q1.,,,q_2N是 p_1....p_2N的排列
证明 S_N:=Σ_{n=1,N} 2n/(p_1+...+p_2n) <= Σ_{n=1,N} 2/q_n <= 2Σ_{n=1,∞} 1/p_n
对于奇数项也类似
由N的任意性，可知 原级数前n项和有上界，从而收敛

stolz. able变换

路过