◥□◣★◢□◤【数学】《线性代数》基本知识◥□◣★◢□◤

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　　　　┠——※—◆—☆—★—目录—★—☆—◆—※——┨ 
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　　　　┠———————-第一章：行列式-———————┨ 
　　　　┃　　　　　§1．1 二阶、三阶行列式　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§1．2 n阶行列式　　　　　　　　　┃ 
　　　　┃　　　　　§1．3 行列式的性质　　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§1．4 行列式按行、列展开　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§1．5 克莱姆法则　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨ 
　　　　┠————————第二章：矩阵————————┨ 
　　　　┃　　　　　§2．1 矩阵的概念　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§2．2 矩阵的运算　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§2．3 几种特殊的矩阵　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§2．4 分块矩阵　　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§2．5 逆矩阵　　　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§2．6 矩阵的初等变换　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§2．7 矩阵的秩　　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨ 
　　　　┠—————-第三章：线性方程组-———————┨ 
　　　　┃　　　　　§3．1 线性方程组的消元解法　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§3．2 n维向量空间　　　　　　　　┃ 
　　　　┃　　　　　§3．3 向量间的线性关系　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§3．4 线性方程组解的结构　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　　　§3．5 投入产出数学模型　　　　　 ┃ 
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨ 
　　　　┠——————第四章：矩阵的特征值——————┨ 
　　　　┃　　　§4．1 矩阵的特征值和特征向量　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　§4．2 相似矩阵　　　　　　　　　　　 ┃ 
　　　　┃　　　§4．3 实对称矩阵的特征值和特征向量　 ┃ 
　　　　┃　　　*§4．4 矩阵初级的收敛性　　　　　　　┃ 
　　　　┠※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※┨ 
　　　　┠——————— *第五章：二次项———————┨ 
　　　　┃　　　　§5．1 二次项与对称矩阵　　　　　　 ┃　 
　　　　┃　　　　§5．2 二次项与对称矩阵的标准形　　 ┃ 
　　　　┃　　　　§5．3 二次项与对称矩阵的有定性　　 ┃ 
　　　　┃　　　　§5．4 正定和负定性的一个应用　　　 ┃ 
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行列式大体上是个正方形，把行列式里面想象成坐标点�

※⒈最基本知识： 
　　⑴行列式的读法——→“横为行、纵为列”，一行一行的读 
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　　　　█　█　█　 　　█　█　　 █ 
　　　　█　◥◤█ 11　　◥◤█ 12　█ 
　　　　█　　　　　　　　　　　　　█　　第一行—→“ a　1　1 ”　　第二行—→“ a　1　2 ” 
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　　　　█　█　█　 　　█　█ 　　█ 
　　　　█　◥◤█ 21　　◥◤█ 22　█ 
　　　　█　　　　　　　　　　　　　█ 
　　⑵每一个数项的含义： 
　　　　　　◢█◣ 
　　　　　　█　█ 
　　　　　　◥◤█ １ ２ 
　　　　　　　 　　┳ ┳　　　　　　　　 　　　　 
　　　　　　　　　↙　 ↘　　 
　　　　　　　　行标　 列标 
　　⑶主对角线、副对角线： 
　　　　也即英文字母“x” —→第一笔是“主对角线”，第二笔是“副对角线”。（如下图）

★⒉二阶行列式： 
　　⑴二阶行列式的引�

　　注意：x₁、x₂的算术表达式具有以下特点： 
　　　　 　　　　b₁a₂₂－ a₁₂b₂　　　　　　　　 a₁₁b₂　－ 　b₁a₂₁ 
　　　　　　　　　　﹌﹌　　﹌﹌　　　　　　　　　　 ﹌﹌　　　　　　　﹌﹌ 
　　　　x₁＝ ------------------------　　　　x₂＝ ------------------------ 
　　　 　　　　a₁₁a₂₂－ a₁₂a₂₁　　　　　　　 a₁₁a₂₂－ a₁₂a₂₁ 
　　　　　　　　　　﹌﹌　　﹌﹌　　　　　　　　　　 ﹌﹌　　　　　　　﹌﹌ 
　　　　　　　　　　 ∨　　　∨　　　　　　　　　　　 ∨　　　　　　　　∨ 
　　　　　　　　　　 ↓　　　↓　　　　　　　　　　　 ↓　　　　　　　　↓ 
　　　　　　　　　　╰———————————╮╭—————————————╯ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∨ 
　　　　　　　　　　　　　　　　对应的每一列上下具有相同的项 
　　⑵二阶行列式的定义与计算：

　　⑶用二阶行列式的方法解二元线性方程组 
　　　　由二元线性方程组 
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　　　　　　　█　　◥◤█ 11 ◢◤◥◣ 1　 ◥◤█ 12 ◢◤◥◣ 2 　　██◤ 1 
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　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋ █　█　　　██　　〓〓 █　█ 
　　　　　　　◥◣　◥◤█ 21 ◢◤◥◣ 1　 ◥◤█ 22 ◢◤◥◣ 2　　 ██◤ 2 

　　　　知系数行列式D为： 
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　　　　　　███◣　　　　█　█　█　 　　█　█　　 █ 
　　　　　　█　　█　　　　█　◥◤█ 11　　◥◤█ 12　█ 
　　　　　　█　　█　〓〓　█　　　　　　　　　　　　　█　　 
　　　　　　███◤　　　　█　◢█◣　 　　◢█◣　　 █ 
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　 　　█　█ 　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 21　　◥◤█ 22　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█ 

　　　　☆想象系数行列式D中间有一道线，也即： 
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　 ┋　　　　 　　█ 
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　　　　　　███◣　　　　█　█　█ 　　┋　█　█ 　　█ 
　　　　　　█　　█　　　　█　◥◤█ 11　┋　◥◤█ 12　█ 
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　　　　　　███◤　　　　█　◢█◣　　 ┋　◢█◣　　 █ 
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　 ┋　█　█ 　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 21　┋　◥◤█ 22　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　 ┋ 　　　　　　█ 
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓ 
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　　　　　　　　　　　　　　　　┃想象的线，方便分析┃ 
　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━━━━━━━┛ 

　　　　∴ 能很方便的求出D₁和D₂，也即， 
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　　　　　　　D₁中将常数行列式C替换D中┃虚线前面┃的对应位置的数， 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┗━━━━┛ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┏━━━━┓ 
　　　　　　　D₂中将常数行列式C替换D中┃虚线后面┃的对应位置的数。 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┗━━━━┛ 
　　　　　　（注：常数行列式C是 
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　　　　　　　　　　　　　　█　██◣　　█ 
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　　　　　　◢███　　　　█　██◤ 1　█ 
　　　　　　█　　　　　　　█　　　　　　█ 
　　　　　　█　　　　〓〓　█　█　　　　█　　 
　　　　　　◥███　　　　█　██◣　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　██◤ 2　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　） 
　　　　故： 

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　　　　　　　　　　　　　　█　██◣ 　　　◢█◣ 　　█ 
　　　　　　███◣　　　　█　█　█　　　 █　█　　 █ 
　　　　　　█　　█　　　　█　██◤ 1　　 ◥◤█ 12　█ 
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　　　　　　███◤ 1　　　█　█　　　　　　　　　　　█　　 
　　　　　　　　　　　　　　█　██◣　　　 ◢█◣ 　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█ 　　　█　█　　 █ 
　　　　　　　　　　　　　　█　██◤ 2　　 ◥◤█ 22　█ 
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　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　██◣　　█ 
　　　　　　███◣　　　　█　█　█　　　　█　█　　█ 
　　　　　　█　　█　　　　█　◥◤█ 11　　 ██◤ 1　█ 
　　　　　　█　　█　〓〓　█　　　　　　　　　　　　　█ 
　　　　　　███◤ 2　　　█　　　　　　　　█　　　　█　　 
　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　██◣　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　　　█　█　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 21　　 ██◤ 2　█ 
　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　█ 

　　　　∴ 有：

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　　⑷二阶行列式项的特点：共有┃２！项┃ 
　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━┛ 
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简单例题： 
　　　　　∣5　－1∣ 
　　例1 　∣　　　∣＝ 5 × 2 － （－1）× 3 ＝ 13 
　　　　　∣3　　2∣ 


　　　　　 　　∣λ²　λ∣ 
　　例2　　D ＝∣　　 ∣ 
 　　　　　　　∣3　　1∣ 
　　问： 
　　　　⑴当λ为何值时，D ＝ 0 ？ 
　　　　⑵当λ为何值时，D ≠ 0 ？ 
　　　解： 
　　　　λ² － 3λ ＝ 0，则λ（λ － 3） ＝ 0，故λ ＝ 0或λ ＝ 3 
　　　　⑴当λ ＝ 0或λ ＝ 3时D＝ 0 
　　　　　　　　　▲ 
　　　　⑵当λ ≠ 0且λ ≠ 3时D＝ 0 
　　　　　　　　　▲ 
　　　　　　注意：第⑵问尤其注意“且”。 
　　　　　　　　　　　　　　　　　▲ 
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★⒊三阶行列式： 
　　⑴三阶行列式的定义：

　　⑵三阶行列式的计算 
　　　　新方法——→“沙路法”（割补法思想�

　　　　常规方法——→“对角线法则”（三阶行列式的计算——→相隔两个斜行�

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简单例题： 
　　　 　　∣　1　2　3∣ 
　　例1　　∣　4　0　5∣＝ 1 × 0 × 6 ＋ 2 × 5 ×（－1）＋ 3 × 4 × 0 － 1 × 5 × 0 
 　　　　　∣－1　0 ６∣　　　　－ 2 × 4 × 6 － 3 × 0 ×（－1）＝ －10 － 48 ＝ －58 

　　例2　　a，b满足什么条件时有 
　　　　　　∣　a　b　0∣ 
　　　　　　∣－b　a　0∣＝ 0 ？ 
　　　　　　∣　1　0　1∣ 
　　　解： 
　　　　∣　a　b　0∣ 
　　　　∣－b　a　0∣＝ a² ＋ b² 
　　　　∣　1　0　1∣ 
　　　　（技巧：某一斜行有“0”项则不需再计算，因为计算结果为0。） 
　　　　∵a² ＋ b² ＝ 0 
　　　　∴a ＝ 0，b ＝ 0 
　　　　故a ＝ 0且b ＝ 0时，给定的行列式等于0。 

　　　 　　∣a　1　0∣ 
　　例3　　∣1　a　0∣＞ 0的充分必要条件是什么？ 
　　　 　　∣4　1　1∣ 
　　　解： 
　　　　　∣a　1　0∣ 
　　　　　∣1　a　0∣＝ a² － 1 
　　　　　∣4　1　1∣ 
　　　　　　a² － 1 ＞ 0 ⇒ ∣a∣＞ 1 
　　　　　因此 
　　　　　∣a　1　0∣ 
　　　　　∣1　a　0∣＞ 0的充分必要条件是∣a∣＞ 1 
　　　　　∣4　1　1∣　　　　　（或写成“a ＞ 1或a ＜ －1”） 

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　　★归纳：┃n阶行列式共有n！项┃——→下一节将提到 
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　　⑶利用三阶行列式求解三元线性方程组： 
　　　　三元线性方程组 
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　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　〓〓　█　█　 
　　　　　　　█　　◥◤█ 11 ◢◤◥◣ 1　　◥◤█ 12 ◢◤◥◣ 2　　◥◤█ 13 ◢◤◥◣ 3　　　██◤ 1 
　　　　　　　█ 
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　　　　　　◢◤　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　　██◣　 
　　　　　　◥◣　　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　〓〓　█　█　 
　　　　　　　█　　◥◤█ 21 ◢◤◥◣ 1　　◥◤█ 22 ◢◤◥◣ 2　　◥◤█ 23 ◢◤◥◣ 3　　　██◤ 2 
　　　　　　　█ 
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　　　　　　　█　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　◢█◣　　◥◣◢◤　　　　██◣　 
　　　　　　　█　　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　╋　█　█　　　██　　〓〓　█　█　 
　　　　　　　◥◣　◥◤█ 31 ◢◤◥◣ 1　　◥◤█ 32 ◢◤◥◣ 2　　◥◤█ 33 ◢◤◥◣ 3　　　██◤ 3 

　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　 
　　　　　　　　　　　　　　　　█　◢█◣　　　　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　 
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　　　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 11　　　 ◥◤█ 12　　　 ◥◤█ 13　█　　　　 
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　　　　　　　　█　　█　〓〓　█　█　█　　　　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　 
　　　　　　　　███◤　　　　█　◥◤█ 21　　　 ◥◤█ 22　　　 ◥◤█ 23　█　　　　 
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　　　　　　　　　　　　　　　　█　█　█　　　　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　 
　　　　　　　　　　　　　　　　█　◥◤█ 31　　　 ◥◤█ 32　　　 ◥◤█ 33　█　　　　 
　　　　　　　　　　　　　　　　█　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 █

　　　　同理可推倒D₁、D₂、D₃ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┏━━━┓ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　替换系数行列式的┃第一列┃ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━┛ 
　　　　　　　　　　　　　　┌—————————————————————————————┐ 
　　　　　　　　　　　　　　∣　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◢◤　　 ↓　　　 ◥◣　　 
　　　　　　　　　　　　　　∣ 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　◢◤　┏━━━━━┓　◥◣ 
　　　　　　　　　　　　　　↓ 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┏━━━━━┓　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃ █　█　 ┃　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　█　　┃ ██◤ 1 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃ ◥◤█ 11┃　　◥◤█ 12　　　 ◥◤█ 13　█　　　　█　　┃　　　　　┃　　█ 
　███◣　　　　　█┃　　　　　┃　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█ 
　█　　█　　　　　█┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█ 
　█　　█　　〓〓　█┃ █　█　 ┃　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█ 
　███◤ 1　　　　█┃ ◥◤█ 21┃　　◥◤█ 22　　　 ◥◤█ 23　█　　　　█　　┃ ██◤ 2 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃　　　　　┃　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃　　　　　┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　　　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃ █　█　 ┃　　█　█　　　　　█　█　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┃ ◥◤█ 31┃　　◥◤█ 32　　　 ◥◤█ 33　█　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█┗━━━━━┛　　　　　　　　　　　　　　　 █　　　　█　　┃ ██◤ 3 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　█　　┗━━━━━┛　　█ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　◥◣　　　　　　　　　◢◤ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　◥◣　　　　　　　◢◤ 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┏━━━┓ 　 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　替换系数行列式的┃第二列┃ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━━┛ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌——————————————————————┐ 
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∣　　　　　　　　　　　　　　　　◢◤　┏━━━━━┓　◥◣ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓ 　　　　 　　　　　　　　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█　　　　　　　 ┏━━━━━┓　　　　　　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█ 
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　　　　　　　　　　█　█　█　　　 ┃ █　█　 ┃　　█　█　　 █　　　　█　　┃ ██◤ 1 ┃　　█ 
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　███◣　　　　　█　　　　　　　 ┃　　　　　┃　　　　　　　 █　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█ 
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　███◤ 2　　　　█　◥◤█ 21　　┃ ◥◤█ 22┃　　◥◤█ 23　█　　　　█　　┃ ██◤ 2 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█　　　　　　　 ┃　　　　　┃　　　　　　 　█　　　　█　　┃　　　　　┃　　█ 
　　　　　　　　　　█　◢█◣　 　　┃ ◢█◣　 ┃　　◢█◣　　 █　　　　█　　┃ █　　　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█　█　█　 　　┃ █　█　 ┃　　█　█　　 █　　　　█　　┃ ██◣　 ┃　　█ 
　　　　　　　　　　█　◥◤█ 31　　┃ ◥◤█ 32┃　　◥◤█ 33　█　　　　█　　┃ █　█　 ┃　　█ 
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