（续）
【情况三】
完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，操作中允许借用另外的若干个个标准球来做比较。
先按照不限制借用标准球个数的情况叙述：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球，称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“四(1)”即可。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个和另外9个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(3)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就在这另4个中，下两步步按“四(2)”即可。
一般地，若是称N次，方法是：
先分成两组，一组相当于情况一称N-1次能挑的个数，另一组是情况三称N-1次能挑的个数。做法是，将第一组和同样多的标准球用天平比较一次，如果不一样重就说明假球在第一组中且知道了是轻还是重，然后按照情况一称N-1次即可。
若第一次比较后等重，说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。
再说如果限制借用的标准球不可超过一个的情况：
若是称N次，同样分成两组，一组相当于情况二称N-1次能挑的个数（和情况一一样多），另一组是情况三称N-1次能挑的个数。
不同之处是，第一组不再是和同样多的外借标准球比较，而是将第一组再分成两小组放在天平两边比较。只是，因第一组球个数是奇数，故必须添加一个标准球，才能等分到两边。这样称后如果不等重，说明假求在第一组中，且知道了其中哪些属于A类，哪些属于B类。然后按照情况二称N-1次即可。
若第一次比较后等重，则说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。而且后N-1步可不再受“标准球不可超过一个”的限制了，因为此时嫌疑范围已经缩小，新范围以外的都可看做标准球，不需要“外借”了。
具体地，称一次同上略。称2次、3次的步骤如下：
称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个再分成2、1放在天平两边，并在放1的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“三(1)”即可。
称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个再分成5、4放在天平两边，并在放4的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(2)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就是这另4个，下两步按“三(2)”即可。
用数学归纳法不难证明，称N次，就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
（待续）
【情况三】
完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，操作中允许借用另外的若干个个标准球来做比较。
先按照不限制借用标准球个数的情况叙述：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球，称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“四(1)”即可。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个和另外9个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(3)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就在这另4个中，下两步步按“四(2)”即可。
一般地，若是称N次，方法是：
先分成两组，一组相当于情况一称N-1次能挑的个数，另一组是情况三称N-1次能挑的个数。做法是，将第一组和同样多的标准球用天平比较一次，如果不一样重就说明假球在第一组中且知道了是轻还是重，然后按照情况一称N-1次即可。
若第一次比较后等重，说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。
再说如果限制借用的标准球不可超过一个的情况：
若是称N次，同样分成两组，一组相当于情况二称N-1次能挑的个数（和情况一一样多），另一组是情况三称N-1次能挑的个数。
不同之处是，第一组不再是和同样多的外借标准球比较，而是将第一组再分成两小组放在天平两边比较。只是，因第一组球个数是奇数，故必须添加一个标准球，才能等分到两边。这样称后如果不等重，说明假求在第一组中，且知道了其中哪些属于A类，哪些属于B类。然后按照情况二称N-1次即可。
若第一次比较后等重，则说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。而且后N-1步可不再受“标准球不可超过一个”的限制了，因为此时嫌疑范围已经缩小，新范围以外的都可看做标准球，不需要“外借”了。
具体地，称一次同上略。称2次、3次的步骤如下：
称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个再分成2、1放在天平两边，并在放1的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“三(1)”即可。
称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个再分成5、4放在天平两边，并在放4的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(2)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就是这另4个，下两步按“三(2)”即可。
用数学归纳法不难证明，称N次，就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
（待续）
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62楼2017-04-12 11:54
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