(续)
【情况三】
完全不不知道假球的轻重,且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重,操作中允许借用另外的若干个个标准球来做比较。
先按照不限制借用标准球个数的情况叙述:
(1) 称1次,只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球,称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次,可以从4个中挑。
——分成3、1两组,将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重,则假球就在这三个中且已经知道轻还是重,下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重,则假球就是这另一个,下一步按“四(1)”即可。
(3) 称3次,可以从13个中挑。
——分成9、4两组,将这9个和另外9个标准球称一次比较。若不等重,则假球就在这9个中且已经知道轻还是重,下一步按照上面“一(3)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重,则假球就在这另4个中,下两步步按“四(2)”即可。
一般地,若是称N次,方法是:
先分成两组,一组相当于情况一称N-1次能挑的个数,另一组是情况三称N-1次能挑的个数。做法是,将第一组和同样多的标准球用天平比较一次,如果不一样重就说明假球在第一组中且知道了是轻还是重,然后按照情况一称N-1次即可。
若第一次比较后等重,说明假球就在这另一组中,下面按情况三称N-1次的步骤即可。
再说如果限制借用的标准球不可超过一个的情况:
若是称N次,同样分成两组,一组相当于情况二称N-1次能挑的个数(和情况一一样多),另一组是情况三称N-1次能挑的个数。
不同之处是,第一组不再是和同样多的外借标准球比较,而是将第一组再分成两小组放在天平两边比较。只是,因第一组球个数是奇数,故必须添加一个标准球,才能等分到两边。这样称后如果不等重,说明假求在第一组中,且知道了其中哪些属于A类,哪些属于B类。然后按照情况二称N-1次即可。
若第一次比较后等重,则说明假球就在这另一组中,下面按情况三称N-1次的步骤即可。而且后N-1步可不再受“标准球不可超过一个”的限制了,因为此时嫌疑范围已经缩小,新范围以外的都可看做标准球,不需要“外借”了。
具体地,称一次同上略。称2次、3次的步骤如下:
称2次,可以从4个中挑。
——分成3、1两组,将这三个再分成2、1放在天平两边,并在放1的一边加上一个借来的标准球,称一次比较。若不等重,则假球就在这三个中且已经知道哪些是A类哪些是B类,下一步按照上面“二(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重,则假球就是这另一个,下一步按“三(1)”即可。
称3次,可以从13个中挑。
——分成9、4两组,将这9个再分成5、4放在天平两边,并在放4的一边加上一个借来的标准球,称一次比较。若不等重,则假球就在这9个中且已经知道哪些是A类哪些是B类,下一步按照上面“二(2)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重,则假球就是这另4个,下两步按“三(2)”即可。
用数学归纳法不难证明,称N次,就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
(待续)
【情况三】
完全不不知道假球的轻重,且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重,操作中允许借用另外的若干个个标准球来做比较。
先按照不限制借用标准球个数的情况叙述:
(1) 称1次,只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球,称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次,可以从4个中挑。
——分成3、1两组,将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重,则假球就在这三个中且已经知道轻还是重,下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重,则假球就是这另一个,下一步按“四(1)”即可。
(3) 称3次,可以从13个中挑。
——分成9、4两组,将这9个和另外9个标准球称一次比较。若不等重,则假球就在这9个中且已经知道轻还是重,下一步按照上面“一(3)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重,则假球就在这另4个中,下两步步按“四(2)”即可。
一般地,若是称N次,方法是:
先分成两组,一组相当于情况一称N-1次能挑的个数,另一组是情况三称N-1次能挑的个数。做法是,将第一组和同样多的标准球用天平比较一次,如果不一样重就说明假球在第一组中且知道了是轻还是重,然后按照情况一称N-1次即可。
若第一次比较后等重,说明假球就在这另一组中,下面按情况三称N-1次的步骤即可。
再说如果限制借用的标准球不可超过一个的情况:
若是称N次,同样分成两组,一组相当于情况二称N-1次能挑的个数(和情况一一样多),另一组是情况三称N-1次能挑的个数。
不同之处是,第一组不再是和同样多的外借标准球比较,而是将第一组再分成两小组放在天平两边比较。只是,因第一组球个数是奇数,故必须添加一个标准球,才能等分到两边。这样称后如果不等重,说明假求在第一组中,且知道了其中哪些属于A类,哪些属于B类。然后按照情况二称N-1次即可。
若第一次比较后等重,则说明假球就在这另一组中,下面按情况三称N-1次的步骤即可。而且后N-1步可不再受“标准球不可超过一个”的限制了,因为此时嫌疑范围已经缩小,新范围以外的都可看做标准球,不需要“外借”了。
具体地,称一次同上略。称2次、3次的步骤如下:
称2次,可以从4个中挑。
——分成3、1两组,将这三个再分成2、1放在天平两边,并在放1的一边加上一个借来的标准球,称一次比较。若不等重,则假球就在这三个中且已经知道哪些是A类哪些是B类,下一步按照上面“二(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重,则假球就是这另一个,下一步按“三(1)”即可。
称3次,可以从13个中挑。
——分成9、4两组,将这9个再分成5、4放在天平两边,并在放4的一边加上一个借来的标准球,称一次比较。若不等重,则假球就在这9个中且已经知道哪些是A类哪些是B类,下一步按照上面“二(2)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重,则假球就是这另4个,下两步按“三(2)”即可。
用数学归纳法不难证明,称N次,就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
(待续)