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问一个概率相关的奇怪问题

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设想在一档节目中,你能在两个盒子中选择一个作为奖励。不妨把两个盒子分别称为A和B吧,它们在外观上没有任何区别,其中一个盒子内的奖金是另一个的两倍。
假设你选择了A。现在主持人把A盒子打开,并给了你一次改选的机会,你会选择B吗?


IP属地:江苏1楼2025-03-15 13:35回复
    由于事先不知道奖金的分布,选择A和B是等同的。从逻辑上看,你选到奖金多的盒子和奖金少的盒子的概率都是50%。假使说你看到A里有100块钱,如果改选B,有一半的概率获得200元;有一半的概率获得50元。计算期望0.5*200+0.5*50=125。改选B是明智的选择。


    IP属地:江苏2楼2025-03-15 13:43
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      问题在对概率空间的描述是模糊的


      IP属地:上海来自iPhone客户端3楼2025-03-15 13:55
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        比如在开头加个条件 50和100的概率是99% 那你是不是就不换了。需要指出的是 这个条件并不与已有的任何假设矛盾
        也就是你这题里 其实你偷偷加了一个没什么理由的假设


        IP属地:上海来自iPhone客户端4楼2025-03-15 14:01
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          如果你说清 50/100和100/200的概率都是一半 最开始抽的期望是112.5 开到100就换非常符合直觉


          IP属地:上海来自iPhone客户端5楼2025-03-15 14:10
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            三个盒子,你怎么换成两个盒子了?


            IP属地:北京6楼2025-03-15 15:26
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              只考虑期望不考虑方差就是这样违和的


              IP属地:福建来自Android客户端7楼2025-03-15 15:36
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                不是三个盒子


                IP属地:湖北来自iPhone客户端8楼2025-03-15 15:40
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                  说穿了其实挺简单的。假设打开的的金额为C,那么另一个要么是2C,要么是1/2C。如果设较多的金额为c的概率为P(c),因为分给两个盒子的概率相等,有p1=0.5P(2C),p2=0.5P(C)。于是,基于条件概率,换了以后变多的概率为p1/(p1+p2),变少的概率为p2/(p1+p2)。于是期望为(2p1C+0.5p2C)/(p1+p2)。
                  但是!很显然,我们不知道P(c)的概率分布,它不是想当然的均匀分布。也无法确定p1和p2的关系,所以这种方式得不到结果。
                  因此,应该从分配状态入手。假设总额为S,那么打开的是1/2可能是1/3S,1/2可能是2/3S。于是,期望是1/2S,符合实际。


                  IP属地:河南来自Android客户端9楼2025-03-15 16:51
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                    没懂有啥奇怪的
                    这个佯谬看起来奇怪的点在于Ea=1.25Eb,Eb=1.25Ea,好像期望值都是无穷。但这本来就是题设中无上限翻倍导致的


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                    IP属地:安徽来自Android客户端10楼2025-03-15 16:56
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                      你自己不懂,不会影响期望值。 实际上,节目组奖金有上限。比如节目组最多给你100。 所以,你看到A里有100块钱。你换B,100%概率获得50元。 如果你想真正计算,你还要把节目组奖金上限数值的各种概率考虑上去。


                      IP属地:广西11楼2025-03-15 19:25
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