对于第一个问题，可以在A集合中找到m个元素a1 a2…am，构造这样的多项式f(x)：这个多项式由m项构成，每一项的形式如同ai*(x-1)(x-2)…(x-m)/(i-1)/(i-2)/…/(i-m)，其中分子没有x-ai，分母没有(i-i)。这样构造出的多项式符合题目要求。
举个例子，如果A={2,3,5,…}，想构造一个二次函数，就这样构造f(x)=2(x-2)(x-3)/(1-2)/(1-3)+3(x-1)(x-3)/(2-1)/(2-3)+5(x-1)(x-2)/(3-1)/(3-2)

😩这些文字，我解不出来

第1问应该是先用抽屉原理, 证明在模M=(m-1)!的所有剩余类中, 至少有一类r(mod M)中有无穷多个整数属于A (因为A是无穷集合)
从这些整数中取m个互不相等的整数a₁,a₂,…,a[m], 设整数b₁,b₂,…,b[m]满足b[i] = (a[i]-r)/M, 1≤i≤m
然后就可以用插值公式构造一个满足f(i)=a[i]对任意1≤i≤m都成立的有理系数多项式
f(n) = r+ M*∑b[i]*g_i(n)/g_i(i) , 求和号下1≤i≤m
其中对1≤i≤m, g_i(n)= ∏(n-j) (1≤j≤m且j≠i)
这样每个g_i(n)都是不超过m-1次的多项式, 而且由于g_i(i)的绝对值等于(m-i)!(i-1)!, 能整除(m-1)! = M, 所以f(n)是一个次数不超过m-1的整系数多项式, 满足要求

第2问感觉怪怪的, 不太确定

第2问，已有k个数时，以其中任意m-1个数为f1到fm中某m-1个值的<=m-2次多项式个数为有限个，取第k+1个数不为这有限个多项式在1到m的值即可