第1问应该是先用抽屉原理, 证明在模M=(m-1)!的所有剩余类中, 至少有一类r(mod M)中有无穷多个整数属于A (因为A是无穷集合)
从这些整数中取m个互不相等的整数a₁,a₂,…,a[m], 设整数b₁,b₂,…,b[m]满足b[i] = (a[i]-r)/M, 1≤i≤m
然后就可以用插值公式构造一个满足f(i)=a[i]对任意1≤i≤m都成立的有理系数多项式
f(n) = r+ M*∑b[i]*g_i(n)/g_i(i) , 求和号下1≤i≤m
其中对1≤i≤m, g_i(n)= ∏(n-j) (1≤j≤m且j≠i)
这样每个g_i(n)都是不超过m-1次的多项式, 而且由于g_i(i)的绝对值等于(m-i)!(i-1)!, 能整除(m-1)! = M, 所以f(n)是一个次数不超过m-1的整系数多项式, 满足要求