1. 有理分式的洛朗展开
通法:首先必须将有理分式拆开成部分分式。这一点早在大一学不定积分时就应该很熟练，这里不再具体讨论其技巧，可以参考:http://tieba.baidu.com/p/3898779780?share=9105&fr=share

但是，这里我们能利用的洛朗展开公式只有一个:

这就引入了洛朗展开中一个最重要也最容易忽视的问题—公式的取值范围，这里的1/(1-z)的展开式成立前提是:z的模小于1，而题目中的(2)，(3)，(4)都是不满足的，故肯定要把它们变形以满足取值条件。

sol.1 注意到使用展开公式时都满足了条件:

凑公式时要灵活多变，1/(1-z)展开公式中的z可以是任何模小于1的整体。在作函数的洛朗展开式要注意这种整体代换思想:

2.基本初等函数组合而成的函数洛朗展开:

我们指出，洛朗展开随圆环域而变化并不与洛朗展开的唯一性相悖，因为洛朗展开唯一性是指在给定圆环域上，展开式具有唯一性。从唯一性我们亦可以知道，不管用什么方法，例如用定义，或者用常见展开公式，或者对已有的洛朗展开做求导、乘z等处理，只要形式上能凑出欲求洛朗展开的f(z)，那么对应的展开式一定是f(z)在给定圆环域的洛朗展开。

对于常见的初等函数，需要记住一些展开公式，当然，最重要的还是记住他们的取值范围，对于第一类展开式，公式在全平面成立，这时就无须担心取值范围问题了:

第二种，要特别小心其展开式的取值范围:

很多人看到洛朗或是泰勒展开就会想到定义或者求导，事实上，利用已有的展开式进行计算永远是最简单的

从上面的一些例子已经能够看出洛朗展开的一些规律:
1.在圆环域r1＜‖z-z0‖＜r2上展开f(z)的洛朗级数一定是以z0为中心的，即∑Cn(z-z0)^n的形式这个形式是唯一的，我们指出，尽管在这个圆环域的某个子集(例如一片充分小的单连通区域)上，f(z)的洛朗展开可能形式会大不一样，但是要想用一个统一的洛朗级数去描述给定圆环域内任何一点，其形式就一定会是∑cn(z-z0)^n这种形式，系数也被唯一确定。

2.从上面的例子已经可以发现，f(z)在圆环域r1＜‖z-z0‖＜r2上洛朗展开的负幂次项系数是和f(z)在‖z-z0‖＜r1内的孤立奇点紧密联系的，虽然初学洛朗展开时孤立奇点还没讲到，但应该意识到，如果‖z-z0‖＜r1内有破坏解析函数解析性的孤立点，那么其洛朗展开式就一定有负幂次项，而且负幂次项的多少，最低次数等，理应是这些破坏解析性的奇点性质的一种刻画。
反过来，也可以从奇点来大体检查洛朗展开式的正确性