很多人看到洛朗或是泰勒展开就会想到定义或者求导，事实上，利用已有的展开式进行计算永远是最简单的

从上面的一些例子已经能够看出洛朗展开的一些规律:
1.在圆环域r1＜‖z-z0‖＜r2上展开f(z)的洛朗级数一定是以z0为中心的，即∑Cn(z-z0)^n的形式这个形式是唯一的，我们指出，尽管在这个圆环域的某个子集(例如一片充分小的单连通区域)上，f(z)的洛朗展开可能形式会大不一样，但是要想用一个统一的洛朗级数去描述给定圆环域内任何一点，其形式就一定会是∑cn(z-z0)^n这种形式，系数也被唯一确定。

2.从上面的例子已经可以发现，f(z)在圆环域r1＜‖z-z0‖＜r2上洛朗展开的负幂次项系数是和f(z)在‖z-z0‖＜r1内的孤立奇点紧密联系的，虽然初学洛朗展开时孤立奇点还没讲到，但应该意识到，如果‖z-z0‖＜r1内有破坏解析函数解析性的孤立点，那么其洛朗展开式就一定有负幂次项，而且负幂次项的多少，最低次数等，理应是这些破坏解析性的奇点性质的一种刻画。
反过来，也可以从奇点来大体检查洛朗展开式的正确性

再求f(z)在围道C上的积分时，将f(z)洛朗展开，然后利用上一楼的结论，我们会发现这个积分居然只与c-1有关，积分值就是2πi c-1，所以想尽一切办法去求-1次方项系数就成了最重要的事情。特别地，这个系数又称为留数，上述结论也称为留数定理。整个复变函数的核心定理，也就是如此。

例如此题，欲求出自最低项始的三项洛朗展式:

“错误的”使用公式，却能得到正确的结果，这种现象，在解析函数中是比较常见的，出现这种美好的事情是基于解析函数的优异性质。还记得大一时的数分吗，那时讨论一个实变函数必须得小心翼翼，因为那时的函数性质差的可怜，只给到几阶可导(甚至有些坑比题目只给个连续性→_→)。但解析函数就大不一样了，随便Taylor展开任意求导积分任意交换求导积分次序等等，简直想干什么就能干什么。这正是解析函数优异的性质之所在，你在解析函数的一个子解析区域上得到的性质，可以直接用到整个解析函数。
更加严谨化的说法，是将解析函数进行解析延拓，解析延拓是复变函数论中重要的一个内容，涉及到一些艰深的理论。以上读者仅了解即可。

暖暖，顶一下。

好贴，顶一下

暖暖

上首页了耶

开更！<楼主最近有些偷懒拖了很久没更见谅>
初等函数洛朗展开中很常见的是两个初等函数相乘，求积在给定区域的洛朗展开，这种情况又细分为如下四种:
1.两个函数的主要部分都有限(有限负幂次项)
2.两个函数的解析部分都有限(有限正幂次项)
3.一个主要部分有限;另一个解析部分有限
4.两个函数的主要部分和解析部分都无限

这里只讨论前三种，也是最常见的三种情况，至于第四种，楼主还不是很清楚，等以后弄明白了补上
前两种最常见，也最容易，由于很多情况下我们只需要求出特定的几项，所以只要考察幂次相加等于欲求项的幂次的项即可，在(1)，(2)情形下，这种项是有限的，所以就是简单的多项式乘法