8.双信封悖论
如果芝诺、汤姆森和希尔伯特只是让我们看到关于“无穷”的一些奇特性质的话，那双信封悖论可能会让我们彻底疑惑。当然前提是，你真正看懂了它在说什么。关于双信封的描述全为本人手打，这也是楼主最喜欢的悖论之一。
假设你和一位同学共同去看你们的数学老师，这时老师提出一个奇怪的要求：把你们俩的钱包给他看看。出于对老师的尊重你们照办了。很快老师便归还了钱包，并说：“你们其中一人钱包里的钱是另一个人的两倍”。德高望重的老师肯定不会骗人，这时问题来了，老师又问：“你们是否愿意交换钱包？”（本题中我们无视钱包本身的价值并且假设钱包里只有钱）
没错，这就是双信封悖论从逻辑上来说最初级的版本（听上去并没有提到“信封”嘛）。不过你很快会发现事情是如何变得越来越复杂和令人困惑的。
让我们思考一下，只有两种可能：我们的钱较少或者我们的钱较多，应该各为1/2的几率。我们很显然是知道自己有多少钱的（不知道也没关系，可以设为X），这时对方的钱要么是我们的两倍，要么是我们的一半。也就是说这是一个两倍对一半的赌局，对我们有利。（如果你不明白为什么两倍对一半在各占一半概率时有利的话那可能你不适合看这篇悖论）
很有意思的是对方也能做相同的推理，所以你们都觉得自己赚了而且交换，但一个双人赌局不可能对双方都有利。更有意思的是假如你假设的X不是自己的而是对方的话能推出完全相反的结论。那么，是谁错了？

一个说服了大部分人的解法是：推理一开始就错了，的确只有两种可能，但二者并非都为1/2，其中一种可能性更大一些。
这种观点的支持者这样描述，假如全世界所有人钱包里的钱呈正态分布，将其全部加起来取均值，则均值以上的为钱较多者可能性更大，否则更少。当然了这种算法无视了国家、性别、职业以及种种因素的干扰。但我们依然可以下个判断：假如我们知道自己不习惯在钱包里放太多钱，或者刚花掉不少，那我们对这场赌博会更有信心；反之要是我们装了很多钱是为了吃份大餐，或是干点别的什么，那我们会倾向于不赌。总而言之，“你们其中一人钱包里的钱是另一个人的两倍”并不能让我们确定谁多谁少的准确概率。
不过也有人对这种解法嗤之以鼻，认为它并没有触及关键之处。以上诡辩不过是回避了问题，依然没有解释一半对两倍这一奇异对称。在理性化的情况下，也就是钱数是完全随机的情况下，必须正视这一诡异对称，这种思想催生了双信封悖论的初始版本。

度娘老是说我发布的内容包含违规信息，所以被系统删除......这么人畜无害的帖子也能违规?是不是触及到什么敏感词了......

被吞了四次了......不过道高一尺魔高一丈

现在让我们抛去数学老师或者神仙这种东西，试着从纯粹抽象的领域思考这一问题。数学老师的钱包问题让我们发现关键在于“随机”，那我们可以假设一台计算机，从一定的范围内以均匀的概率取出一个数，此时依各1/2的概率对其取半或翻倍产生另一个数。某人查看了计算机的结果后，不代任何偏见地将和两个数数额相一致的支票分别装进两个信封。其余论调和以上一样，你拿了其中一个，现在换不换？
我们必须注意到，任何存储变量的数据类型都有上限，这里假设我们上限有10^10这么大，当然还得有一个最高精度，这里假设为10^（-10），现在我们就从（2*10^（-10），5*10^9）里以均匀概率产生第一个实数，并依均等概率对其取半或翻倍操作产生第二个。不过实际上没有任何一台计算机可以做到“真随机”，因此我们其实在假定一种理想状况。（也许未来的量子计算机可以做到）
让我们回答一个小问题，也就是在初始的信封悖论里质疑“将不确定的钱数假定为X”这一思想到底合不合理？必须注意到，假如我们看了某一个钱包里的钱无疑会破坏逻辑上的对称性，因此必须将其设为未知数。
在小学的时候，每当我们要同时从等式两边除以一个未知数（比如X）的时候，老师都会提醒我们：需要写上“当X不为0时”，很明显这一看似冗余的步骤其实很有必要，它保证了我们不会犯除以零这样的低级错误。其实我们在进行未知数的运算时，每一步都蕴含了“针对X的每一个可能的取值，都有”这段话。只不过时时刻刻都写的话太过麻烦，所以我们才在一些特殊情况下考虑它（除了除以零还有不等式两边同乘某未知数）。这一思想有个耳熟能详的名称：“分类讨论”。
很显然，假如我们拿到钱包后看了一眼，发现里面装有6*10^9这么多钱，很明显我们就不该换了，因为此时另一个钱包不可能有更大数额。另一个极端的例子出现在我们预设的最小值上，当我们发现钱数是10^（-10）时很显然我们拿到了较小的那个（虽然在这种情况下应该换）。另外实际上就没有哪种钞票允许10^（-10）这种值......
考虑到以上思路，预先假设X就不合理了。当我们说“另一个信封里的钱1/2概率为我们的一半，1/2概率为两倍”时是没有问题的，但一旦我们设置了X，就不能直接说另一个信封要么是2X要么是1/2 X，因为其并非“对X的每个可能取值都生效”，更别说算什么期望值了，上述那句话的数学表达必须采用分类讨论的思想。
可以看到，尽管我们采用了完全随机思想，但仍避免不了某些特殊值对对称性的破坏。以上分析是绝对有必要的，因为它让我们明白“无限”是让对称结构成立的必要条件。没有无限结构的信封悖论绝不可能成立。因此我们最终的思路就是要彻底突破物理学的桎梏，从纯粹数学的角度来还原双信封悖论的真正意义。

最终的信封悖论：从正实数集（0，+∞）中以均匀概率取出一个元素A，依1/2概率设B=2A或依1/2概率设B=1/2 A。依1/2概率设X=A且Y=B；1/2概率设X=B且Y=A。
问题：Y的期望值关于X的表达式是什么？
思路1：X,Y在第二句话中才被提到，并且两者逻辑对称，因此Y的期望值为X
思路2：依题意，Y的值有两种可能：2X或1/2 X。由第一句话易知对于X的任意取值，两种可能的概率均占1/2，因此Y的期望为5/4 X
与之前的表述都不同，最终版本放弃了现实中实现的可能性而追求纯粹逻辑上的表达，这也意味着它不具备实际可行性。那么在逻辑上否认其可行性是解法之一。尽管该表述有三个分句，但一般的否认集中于第一个分句，即从一个无限（此例中基数为阿列夫1）元素的集合中以均匀概率产生一个元素，这是否可行？
公理集合论中有一条“选择公理”，它的通俗表达是：设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。而将元素从集合中选择出来的方法我们称为选择函数。如果选择公理成立，我们似乎就能从正实数集中用选择函数任取出一个元素了。等等，没有“均等概率”？选择函数能够保证我们从无穷元素的集合中选出一个元素，但不保证每个元素被选到的概率都一致。而很明显，“均等概率”是信封悖论的关键。
关于概率的表述是信封悖论的核心，而正因为此不能确保其在逻辑学上的完全成立。但不可否认的是，与汤姆森灯一样，信封悖论有一种纯粹逻辑上的美感，倘若我们不能指出其在结论中的思维谬误或是题设中的思维硬伤在何处，它就终将会在我们脑海中残留一个困扰（尽管从数学的角度看这不过是庸人自扰）。无论信封悖论在数理逻辑上成立与否，它都让我们（特别是普通人）对于无限的理解更进一步。

可能会缓更一会，我后悔昨晚上在床上思考意外绞刑悖论了，这个问题杀死了我好多脑细胞，我深深感受到了自己在智力上的硬伤我敢说90%的人都低估了这个悖论，或者压根就没仔细想过，当然我也后悔在另一个帖子里说意外绞刑悖论是逻辑谬误了

10.电车悖论
时隔一年的更新，应该不算挖坟吧...当初是因为贴吧有人闹事才断更了，之后因为忙就没跟了，再之后为什么没有更新呢...因为楼主很懒
“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，最早是由哲学家Philippa Foot提出的，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？电车悖论牵扯到伦理学上功利主义和义务论之争。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。
引自百度百科（以后从百度引的都不专门说明了。为啥不用维基？楼主英文差）

电车悖论为什么是一个悖论？因为通常大众的伦理观（也就是所谓的主流价值观）包含以下三条观点：
1.一个人不管处在任何情况下，都有符合道德的选择
这里的“符合道德”，指的是不违反道德的意思。换言之，一个人不管如何，总有办法能避免自己不道德。观点1几乎是显而易见的，我们不能批判一个无论如何都会违反道德的人。如果一个人在任何选择下都不道德，那肯定是道德本身错了，道德不能强人所难，要求根本做不到的事。
2.不能杀害无辜的人，也不能故意导致无辜的人死亡（即使这么做是有理由的）
这是义务论的观点，同时也符合大众的道德直觉。在我们看来，论点2也是显而易见的，只有当一个人不是无辜的（犯罪者或是参战的军人）的时候我们才有资格剥夺他的生命，否则伤害无辜的人就是不道德的，更别说害死他了。这里“故意”的意思是明知自己的行为会导致某种结果（这里是致人死亡）依然这么做了。
3.除非能力受限或者自身有危险，否则不能见死不救
观点3也合情合理，我们不会谴责不救火的平民（因为自身有危险），也不能指责不采取专业医疗手段救助受伤陌生人的普通人（因为没有能力），但在有能力且自身安全的情况下，救助是应该的，上述两种情况路人都有向他人呼救的道德义务，否则就是不道德的。救助会造成损失不是反对观点3的理由，很多救援都需要耗费大量的人力物力财力，但这从来都不是放弃施救的理由。同时很多救助本身就可能造成更多人伤亡（因为很多救援对救援者来说很危险）但仍然不能因此反对救援。
看起来观点123都没有问题，但电车悖论用一个特殊的情景告诉了我们，这三条是矛盾的。如果放任不管就违反了3，拉拉杠就违反了2，而假如23都是对的，那1就会引发矛盾，因为此时没有符合道德的选择。换言之，虽然直觉告诉我们123都是对的，但实际上必然至少有1条观点是错的。那么，到底哪一条错了？亦或，错的不止一条？