简单地讲一下我的思路
为方便讨论，假设其为从左至右从大到小排列
因为这五个正数加在一起等于1，且这五个数都不相同
所以第一个必定大于5分之1
第一个的取值范围是有限的（1/2，1/3，1/4）
假设第一个为4分之一
剩下四个的和为4分之3
最大的那个大于16分之3
而此时第二个大于16分之3，小于4分之1，且能表示为1/x（x为正整数），此时这个数是不存在的，排除最大为4分之1的可能

书接上文，大家可以看看44楼的编程方法，也可以通过裂项得出最大是1/3的情况只有一种

还是讨论一下吧
最大为3分之1
剩下四个的和为3分之2
最大那个要大于6分之1
第二个若取4分之1
剩下三个之和为5/12
第三个要大于5/36
取第3个为1/5
运用类似的讨论，可以得出若第一个取1/3 只有一种情况
1/3，1/4，1/5，1/6，1/20

最后1/2
剩下四个之和为1/2
第二个大于1/8
设第二个为a
剩下三个和为1/2-a
第三个大于（1/2-a）/3
设第三个为b
剩下两个的和为1/2-a-b
第四个大于（1/2-a-b）/2
综上所述，第一个，第二个，第三个，第四个都大于x(0<x<1）
第一个～第四个的取值范围是有限的
前四个定下来，第五个也就确定了，所以解的个数是有限的

我发现我这个太麻烦了，简化一下

设这五个数从大到小排列，分别为
a,b,c,d,e
a>1/5
b>(1-a)/4
c>(1-a-b)/3
d>(1-a-b-c)/2
前面四个a,b,c,d均能表示为1/x（x为正整数）的形式
且0<d<c<b<a<1
所以a,b,c,d的取值范围是有限的
e=1-a-b-c-d
所以这五个数的取值是有限的